Элементы кинематики и динамики

поступательного движения

Лекция 1

Цель: Пространственно-временные представления. Система отсчета. Основные физические модели: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело, сплошная среда. Скалярные и векторные физические величины. Основные кинематические характеристики движения частиц и тел. Скорость и ускорение. Кинематика вращательного движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение.

План:

1. Введение в физику. Механика

2. Основы кинематики. Модели в механике. Система отсчета. Траектория, путь и перемещение

3. Скорость и ускорение. Типы движения

4. Угловая скорость и угловое ускорение

5. Свободное падение

1. Введение в физику. Механика

Само слово «физика» в переводе с греческого означает «природа».

Физика – наука о природе, а это то, что окружает нас. Окружающий нас мир, все существующее вокруг нас и обнаруживаемое нами посредством ощущений представляет собой материю. А неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение. Поэтому физике дается и такое определение, как наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи (например, механические, тепловые и т.д.) и их взаимных превращениях.

Физика тесно связана с естественными науками, такими как биология, астрономия, география, химия и др. В результате изучения сложных систем и явлений возникли новые смежные дисциплины, такие, как астрофизика, геофизика, физическая химия, биофизика и др. Физика тесно связана с техникой и является зачастую базой для создания новых отраслей техники, например, электронной, ядерной и др.

Современная физика изучает и описывает системы от очень малых (микрообъектов), таких как элементарные частицы, до огромных (мегаобъектов) – Вселенная.

Основным методом исследования в физике является опыт или эксперимент. Это основанное на практике чувственно-эмпирическое познание объективной реальности, т.е. наблюдение исследуемых явлений в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явлений и многократно воспроизводить его при повторении этих условий.

Для объяснения экспериментальных факторов выдвигаются гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверной научной теорией.

В результате обобщения экспериментальных фактов, а также результатов деятельности людей устанавливаются физические законы – устойчивые повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе.

Механика — часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564—1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643—1727).

Механика Галилея — Ньютона называется классической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью с, изучаются релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности, сформулированной А.Эйнштейном (1879—1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы — они заменяются законами квантовой механики.

В первой части нашего курса мы будем иметь дело с механикой Галилея — Ньютона, т. е. будем рассматривать движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости с. В классической механике общепринята концепция пространства и времени, разработанная И. Ньютоном и господствовавшая в естествознании на протяжении XVII—XIX вв. Механика Галилея — Ньютона рассматривает пространство и время как объективные формы существования материи, но в отрыве друг от друга и от движения материальных тел, что соответствовало уровню знаний того времени.

Так как механическое описание наглядно и привычно и с его помощью можно объяснить многие физические явления, в XIX в. некоторые физики стали сводить все явления к механическим. Эта точка зрения соответствовала философскому механистическому материализму. Дальнейшее развитие физики показало, однако, что многие физические явления не могут быть сведены к простейшему виду движения — механическому. Механистический материализм должен был уступить место материализму диалектическому, рассматривающему более общие виды движения материи и учитывающему все разнообразие реального мира.

Механика делится на три раздела: 1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают.

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

Модели в механике. Система отсчета. Траектория, путь и перемещение.

Итак, повторим, механическим движением называется изменение взаимного положения тел или частей одного тела в пространстве с течением времени. Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Понятие материальной точки — абстрактное, но его введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель — абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение — это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.

Положение материальной точки или тела в пространстве можно определить только относительно какого-нибудь другого тела. Тело, относительно которого рассматривается механическое движение данного тела, называется телом отсчета. Пространственное положение движущегося тела в произвольный момент времени обычно задается в системе координат, начало которой жестко связано с телом отсчета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором r, проведенным из начала системы координат в данную точку (рис.).

Координаты с течением времени изменяются, т.е. представляют собой функции времени.

В общем случае движение материальной точки определяется скалярными уравнениями

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t),

что эквивалентно векторному уравнению

.

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Положение тела (точки) на линии, плоскости или в пространстве определяют, соответственно, одной, двумя или тремя координатами. Тело отсчета, жестко связанная с ним система координат и прибор для измерения времени (часы) называется системой отсчета.

Движущаяся точка описывает в заданной системе отсчета линию, которую называют траекторией. По форме траектории движения разделяются на прямолинейные и криволинейные. Прямолинейным называется движение, траектория которого является прямая линия. Криволинейным называется движение, траектория которого - кривая линия. Примером криволинейного движения может быть движение тела по окружности, движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту. Форма траектории зависит от выбора системы отсчета.

Пройденное точкой расстояние от начального пункта движения до конечного вдоль траектории называется длиной пути (или просто путь), который точка прошла за некоторый промежуток времени.

Итак, расстояние, измеряемое вдоль траектории, называется путем. Путь является скалярной величиной, ибо не указывает направления движения. Путь определяется по формуле

S = vt,

где v - скорость, также скалярная величина, показывающая численное значение длины пути, пройденного телом за единицу времени; t - время.

Он измеряется в метрах (или других единицах длины) и показывает, как далеко переместилась точка по своей траектории, но ничего не говорит о том, в какую сторону она переместилась и где, следовательно, находится в данный момент. Для определения положения в произвольный момент времени надо знать не пройденный путь, а его перемещение. Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела (материальной точки). Путь и перемещение — разные физические величины. Поясним это на рисунке.

Предположим, человек должен перебраться с одного берега на другой. Он может обойти озеро в одном или другом направлении или же переплыть на лодке. В любом случае конечная точка одна и та же, но пути человека будут неодинаковой длины. Вектор перемещения не совпадает с траекторией точки. Они совпадают только при прямолинейном движении.

Таким образом, перемещение - величина векторная и определяется формулой

,

где v - вектор скорости. Пусть точка А начального положения тела, движущегося прямолинейно и равномерно, определена координатой х₀, тогда через время t оно окажется в точке В с координатой х. Перемещение АВ = t, где v - вектор скорости. Численное значение перемещения равно

или .

Таким образом, зная координаты начального положения тела и вектор скорости, можно точно указать координаты нахождения тела в любой момент времени.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути Δs.

3. Скорость и ускорение. Типы движения

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор , (рис.). В течение малого промежутка времени Δt точка пройдет путь Δs и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение .

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt:

. (1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением . При неограниченном уменьшении Δt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью :

Мгновенная скорость , таким образом, есть векторная величина, определяемая первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (см. рис.). По мере уменьшения Δt длина пути Δs все больше будет приближаться к , поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

(2)

Если выражение ds = vdt [см. формулу (2)] проинтегрировать по времени, то длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁ до t₂, определяется интегралом

За единицу измерения скорости в системе СИ принята скорость такого движения, при котором тело проходит один метр пути за одну секунду, т. е. метр в секунду (м/с). В практике также пользуются внесистемными единицами скорости: километр в час (км/ч) и др.

Скорость равномерного движения изображается графически прямой, параллельной оси абсцисс (рис.), а путь равномерного движения - прямой, выходящей из начала координат и наклоненной к оси абсцисс под углом α и

,

т.е. пропорционален скорости.

Равнопеременным называется такое движение, при котором за единицу времени скорость изменяется на постоянную величину.

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени Δt:

Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение есть векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени.

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5):

Тангенциальная составляющая ускорения равна первой производной по времени от модуля скорости: она определяет быстроту изменения скорости по модулю.

.

При криволинейном движении вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны.

Нормальная составляющая ускорения направлена по главной нормали к траектории к центру ее кривизны.

,

где r – радиус кривизны окружности, проведенный к точке движения.

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения модуля скорости (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту изменения направления скорости (направлена по главной нормали к центру кривизны траектории). Составляющие и перпендикулярны друг другу.

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) a_τ = 0, a_n = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) a_τ = а = const, а_п = 0 — прямолинейное равнопеременное движение.

При таком виде движения

Если начальный момент времени t₁ = 0, а начальная скорость v₁ = v₀, то, приняв t₂ = t и v₂ = v, получим , откуда

.

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) a_τ = f(t), а_п = 0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) a_τ = 0, а_п = const. При a_τ = 0 скорость изменяется только по направлению. Из формулы следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) a_τ = 0, а_п ≠ 0 — равномерное криволинейное движение;

6) a_τ = const, а_п ≠ 0 — криволинейное равнопеременное движение;

7) a_τ = f(t), а_п ≠ 0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

4. Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени Δt задается углом Δφ.

Рис. 1

Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (см. рис. 1). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Рис. 2

Угловой скоростью называется векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис. 2). Размерность угловой скорости dimφ = Т^-1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 1)

т.е.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Если ω = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt = Т соответствует Δφ = 2 π, то , откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:

Откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости.

Рис. 8 Рис. 9

При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 8), при замедленном — противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения , и

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиусом R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а_τ, нормальное ускорение а_n) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const)

где ω₀ — начальная угловая скорость.

5. Свободное падение.

Свободным падением называется падение тел в безвоздушном пространстве под действием силы тяжести. Свободное падение является равноускоренным движением. Ускорение свободного падения тел зависит от географической широты и высоты над уровнем моря. При решении задач принято пользоваться средним значением ускорения свободного падения, равным 9,8 м/с.

Формулы свободного падения тел запишутся аналогично формулам равноускоренного движения. Если начальная скорость равна нулю, эти формулы будут иметь вид:

,

где h - высота падения, a g - ускорение свободного падения. С начальной скоростью формулы примут вид:

.

Элементы кинематики

и динамики поступательного движения

Лекция 2

Цель: Ознакомиться с основными законами динамики: первым, вторым и третьим законами Ньютона, с физическими величинами – сила, масса, импульс. Рассмотреть вопросы: сила трения, упругие силы, сила тяжести и вес, силы инерции.

План:

1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Сила
2. Второй закон Ньютона. Масса
3. Третий закон Ньютона
4. Деформация. Сила упругости. Закон Гука
5. Силы трения
6. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес. Невесомость

1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Сила

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г.

Динамика рассматривает движение тел в пространстве с изучением причин данного движения. Причиной изменения состояния движения (скорости) тел является сила.

Рассмотрим условия, при которых тело находится в покое. Например, карандаш лежит на столе. Действия Земли и стола компенсируют друг друга. Карандаш не придет в движение, если на него не подействовать рукой или еще каким-либо способом. Таким образом, чтобы изменить скорость карандаша (сообщить ему ускорение), необходимо действие какого-либо другого тела. Шар, прикрепленный к нитке, поднят над столом. Шар неподвижен, так как действие на него со стороны Земли уравновешивается противоположным действием нитки. Если перерезать нитку, т.е. убрать ее действие, шар упадет на стол. Причиной изменения скорости шара является притяжение Земли. В данном случае действие Земли не скомпенсировано, и шар приобретает ускорение.

Рассмотрим условия, при которых тело движется равномерно и прямолинейно (с постоянной скоростью). Движущийся с какой-то скоростью по горизонтальной дороге автомобиль после выключения двигателя через некоторое время остановится. Причиной изменения (уменьшения) скорости автомобиля является действие сил трения на автомобиль. Если бы на автомобиль не действовали никакие силы (со стороны дороги и воздуха), то он, имевший некоторую скорость, после выключения двигателя сохранял бы эту скорость постоянной. В реальных условиях избавиться полностью от внешних воздействий на автомобиль невозможно. Поэтому равномерное движение автомобиля можно осуществить, если с помощью двигателя компенсировать действие дороги и воздуха.

Эти примеры являются доказательством того, что изменение скорости одного тела всегда вызывается действием на него других тел.

В природе нет сил как таковых. В природе существуют только тела и поля (гравитационное - поле тяготения, электрическое и магнитное), которые и взаимодействуют между собой. Под словом сила в механике понимают величину взаимодействия между телами и полями, в результате которого происходит изменение состояния движения этих тел или их деформация. Если говорят, что на тело действует сила, то это значит, где-то рядом существует другое тело или поле, которое и оказывает действие на данное тело.

Сила - векторная величина, характеризующаяся численным значением, направлением и точкой приложения. Действие силы на тело не изменяется, если точку приложения ее переносить вдоль прямой, в направлении которой действует сила.

Первый закон механики (закон инерции) был установлен великим итальянским ученым Галилео Галилеем (1564—1642). Но строгую формулировку этого закона дал и включил его в число основных законов механики английский физик и математик Исаак Ньютон (1643—1727). Этот закон был опубликован в 1681 году в труде «Математические начала натуральной философии» («Начала»).

Первый закон Ньютона. Всякое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока действие других тел не выведет его из этого состояния. Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией, поэтому первый закон Ньютона называется законом инерции.

Современная формулировка первого закона Ньютона или закона инерции гласит:

Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела (или действие других тел компенсируется).

Так как в природе тело не может быть изолировано от действия других тел и полей, то относительный покой, равномерное и прямолинейное движение наблюдаются только в том случае, когда результирующая действия всех сил на данное тело равна нулю.

Первый закон Ньютона устанавливает факт существования инерциальных систем отсчета, т.е. находящихся в покое или прямолинейном и равномерном движении относительно Земли, и описывает движение в этих системах отсчета. Он может быть сформулирован также следующим образом:

Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю.

Этот закон записывается в следующем виде:

при v = const или а = 0, где - векторная сумма всех n сил, действующих на тело, - i-я сила, являющаяся одной из этих сил от первой до n-ой.

Как мы уже отмечали, первый закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета. Инерциальной системой отсчета (ИСО) называется система отсчета, относительно которой тело при компенсации внешних воздействий движется прямолинейно и равномерно или находится в покое.

Инерциальная система отсчета должна быть связана с телом отсчета, по отношению к которому изучается движение тел. Любая реальная система может рассматриваться как ИСО с той или иной степенью приближения, поскольку в природе нет неподвижных тел. Например, тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться ускоренно вместе с нею по отношению к Солнцу. Однако практически для всех задач, решаемых в технике, можно приближенно считать связанную с Землей систему отсчета ИСО, причем эта степень приближения чрезвычайно высока. Любая другая система отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно ИСО, также является инерциальной. Однако следует иметь в виду, что строго инерциальных систем отсчета в природе не существует. Существует бесконечное множество ИСО. При этом считается, что течение времени во всех ИСО происходит одинаково, т. е. время носит абсолютный характер в механике Ньютона. Скорость движения ИСО не влияет на ускорение материальной точки и на силы взаимодействия между этими точками. Масса данного тела в механике Ньютона не зависит от выбора ИСО. Силы взаимодействия между материальными точками определяются их относительным расположением или скоростями их относительного движения. При этом следует помнить, что положение точки, ее скорость, траектория различны в разных ИСО.

Во всех ИСО механические процессы протекают одинаково и подчиняются одним и тем же законам. Эти утверждения выражают механический принцип относительности Галилея — Ньютона.

Система отсчета, относительно которой тело не сохраняет свою скорость постоянной, называется неинерциальной системой отсчета. Неинерциальной системой отсчета является система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системе отсчета с ускорением. В неинерциальных системах отсчета тело имеет ускорение даже в том случае, когда другие тела на него не действуют.

В 1905 г. А. Эйнштейн распространил принцип относительности на все физические явления вообще: во всех инерциальных системах отсчета все физические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково.

2. Второй закон Ньютона. Масса.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньше 10^-12 их значения).

Причиной изменения скорости тела является действие на него другого тела. Количественной мерой воздействия на данное тело других тел является сила. Ускорение тела определяется действующей на него силой и зависит от свойств самого тела. При действии на тело заданной силы, чем больше масса тела, тем меньше получаемое телом ускорение. При взаимодействии двух тел верно следующее равенство: , откуда m₁a₁ = m₂a₂. Произведение массы тела на ускорение отражает как инертные свойства самого тела, так и характер воздействия на него другого тела и может служить количественной мерой этого воздействия. Это дало английскому физику Исааку Ньютону основание сформулировать закон, который был назван вторым законом Ньютона.

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда пропорционально равнодействующей приложенных сил:

(1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

(2)

Используя выражения (1) и (2) и учитывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать

(3)

Соотношение (3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

или (4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (4) ее можно внести под знак производной:

(5)

Векторная величина (6) численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки. Подставляя (6) в.(5), получим

(7)

Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Выражение (7) называется также уравнением движения материальной точки.

Если на тело действует несколько сил, то в формулах (4) и (7) под подразумевается их результирующая (векторная сумма сил).

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы: 1 Н = 1 кг • м/с².

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Казалось бы, первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. В самом деле, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение [см. (3)] также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон, так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (7).

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил , то ее ускорение

где

Следовательно, если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было (принцип независимости действия сил).

Силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Например, на рис. действующая сила F = та разложена на два компонента: тангенциальную силу F_τ (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F_n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и и также , можно записать

3. Третий закон Ньютона.

Любые действия тел друг на друга носят характер взаимодействия. Каждое из тел действует на другое и сообщает ему ускорение, причем векторы ускорения обоих тел имеют противоположные направления. Отношение модулей приобретаемых ускорений а₁ и а₂ двух взаимодействующих тел массами т₁ и т₂ остается постоянным и равным обратному отношению масс тел: .

Это отношение не зависит от природы действующих между телами сил. Данное равенство можно записать так: m₁a₁ = m₂a₂. А так как сила есть произведение массы на ускорение, то можно записать равенство, выражающее третий закон Ньютона:

.

Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Знак «-» в этом уравнении указывает на противоположную направленность векторов сил.

Третий закон Ньютона отражает факт равноправия взаимодействующих сил.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Он показывает, что из-за взаимного действия тел друг на друга силы всегда появляются парами. Например, если, находясь в одной лодке, подтягивать за веревку другую лодку, то обе лодки будут приближаться. Действуя на вторую лодку, мы тем самым заставляем ее действовать на нашу лодку. Заметные изменения скоростей обоих взаимодействующих тел наблюдаются в тех случаях, когда массы этих тел не сильно отличаются друг от друга. Если же взаимодействующие тела значительно различаются по массе, то заметное ускорение получает тело с меньшей массой.

Силы, возникающие при взаимодействии двух тел, приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга, но являются всегда одной природы.

Три вида сил являются предметом рассмотрения в классической механике:

1) Сила упругости, которая возникает в результате деформации тел, т. е. при изменении их формы и размеров. Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры или подвеса, называют силой нормальной реакции опоры, или силой натяжения подвеса;

2) Силы трения. Различают три вида сил трения: покоя, скольжения и качения. Она направлена вдоль поверхностей соприкасающихся тел противоположно скорости относительного перемещения тела. При движении сухопутных, воздушных и водных транспортных машин возникают силы, препятствующие движению. Их называют силами сопротивления среды;

3) Сила тяжести и вес тела. Сила тяжести и сила тяготения имеют одну природу. Вес относится к категории упругих сил, сила тяжести — к силам гравитационным. Вес приложен к опоре или подвесу, сила тяжести — в центре тяжести тела.

4. Деформация. Сила упругости. Закон Гука

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем делать.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

рис. 1

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 1), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы ₁ и ₂ (F₁ = F₂ = F), в результате чего длина стержня меняется на величину Δl. Естественно, что при растяжении Δl положительно, а при сжатии отрицательно.

При деформации тела возникают силы упругости. Физическая величина, определяемая модулем силы упругости, действующей на единицу площади поперечного сечения тела, называется напряжением:

(1)

Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным, если же по касательной к поверхности — тангенциальным.

Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

(2)

относительное поперечное растяжение (сжатие)

где d — диаметр стержня.

Деформации ε и ε' всегда имеют разные знаки (при растяжении Δl положительно, a Δd отрицательно, при сжатии Δl отрицательно, a Δd положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь ε и ε':

где μ — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона.

Английский физик Р.Гук (1635 — 1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение ε и напряжение σ пропорциональны друг другу:

(3)

где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем Юнга.

Из выражения (3) видно, что модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице.

Из формул (2), (3) и (1) вытекает, что

или (4)

где к — коэффициент упругости.

Выражение (4) также определяет закон Гука, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

рис. 2

Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу F_T (рис. 2), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы

где Δs — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых углов tg γ≈γ).

5. Силы трения

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и, в конце концов, останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел относительно друг друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел, в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел, т.е. в энергию теплового движения частиц.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Это деление, впрочем, имеет условный характер. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны относительно друг друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения.

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки составляет около 0,1 мкм и менее).

Силы трения определяются характером взаимодействия между молекулами вещества и являются по своей природе электромагнитными силами. Эти силы описываются закономерностями, полученными опытным путем.

Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей, а в случае очень гладких поверхностей — силами межмолекулярного притяжения.

_{Рис. 3}

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 3), к которому приложена горизонтальная сила . Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила будет больше силы трения _тp. Французские физики Г.Амонтон (1663-1705) и Ш.Кулон (1736-1806) опытным путем установили следующий закон: сила трения скольжения F _тp пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

где f — коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Найдем значение коэффициента трения. Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона α (рис. 5), то оно приходит в движение только когда тангенциальная составляющая силы тяжести больше силы трения _тp.

_{Рис. 5}

Следовательно, в предельном случае (начало скольжения тела) F = F_Tp, или Рsinα = fN = fP cosα, откуда

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла α₀ при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

где f_ист — истинный коэффициент трения скольжения; S — площадь контакта между телами; р₀ — добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами.

Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению движется транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т.д. В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят относительно друг друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внутренним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т.д.).

Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

(5)

где f_к — коэффициент трения качения, имеющий размерность r — радиус катящегося тела.

Из (5) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

6. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес. Невесомость

В начале XVI в. польским астрономом Н.Коперником (1473—1543) обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли.

К началу XVII столетия большинство ученых, однако, убедилось в справедливости гелиоцентрической системы мира. И. Кеплер (немецкий ученый, 1571 — 1630), обработав и уточнив результаты многочисленных наблюдений датского астронома Т. Браге (1546 — 1601), эмпирически установил законы движения планет:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Впоследствии И.Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера и основных законов динамики установил закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (т₁ и т₂) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r²):

(6)

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

G = 6,6720∙10^-11 Н∙м²/кг²

Закон всемирного тяготения справедлив лишь для тел, которые можно считать материальными точками, т.е. для таких тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними.

Значение G — фундаментальная физическая постоянная, принимаемая равной 6,6720∙10^-11 Н∙м²/кг², т.е. два точечных тела массой по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притягиваются с силой 6,6720∙10^-11 Н. Очень малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.

Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, которое получило название ускорения свободного падения . Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой т действует сила

называемая силой тяжести.

Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, то ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с².

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:

,

где М — масса Земли; R — расстояние между телом и центром Земли.

Эта формула дана для случая, когда тело находится на поверхности Земли.

Если тело расположено на высоте h от поверхности Земли, R_o — радиус Земли, тогда

т. е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.

Весом тела называют силу, с которой тело действует на опору (или подвес) вследствие гравитационного притяжения к Земле. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес проявляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением , отличным от . Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением ≠ , то к этому телу приложена дополнительная сила , удовлетворяющая условию

Тогда вес тела

т.е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то = 0 и . Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории и в любом направлении, то = и , т. е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

Законы сохранения в механике,

работа и энергия

Лекция 3

Цель: Рассмотреть закон сохранения импульса как фундаментальный закон природы. Реактивное движение. Центр масс (центр инерции) механической системы и закон его движения. Система центра масс. Ознакомиться с физическими понятиями и величинами: работой, мощностью, энергией. Изучить закон сохранения энергии. Рассмотреть потенциальную и кинетическую виды энергии. Изучить особенности упругого и неупругого ударов.

План:

1. Закон сохранения импульса. Центр масс

2. Реактивное движение. Уравнение движения тела переменной массы

3. Энергия, работа, мощность

4. Кинетическая и потенциальная энергии

5. Закон сохранения механической энергии

6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

1. Закон сохранения импульса. Центр масс

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой.

Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними.

Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.

Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной).

Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п тел, масса и скорость которых соответственно равны т₁,. т₂, ...,m_n и v₁, v₂,...,v_n. Пусть равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а — равнодействующие внешних сил.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из п тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получим

Так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или

(1)

где— импульс системы.

Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

т.е.

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса — фундаментальный закон природы.

Отметим, что, согласно (1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю. Также сохраняется проекция импульса на направление, вдоль которого равнодействующая сил равна нулю.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства — его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где т_i и , — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; п — число материальных точек в системе;— масса системы.

Скорость центра масс

Учитывая, чтоесть импульс системы, можно записать

(2)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (2) в уравнение (1), получим

(3)

т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (3) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

2. Реактивное движение. Уравнение движения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, a скорость станет равной . Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что — малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то поэтому

или

(4)

Второе слагаемое в правой части (4) называют реактивной силой . Если противоположен по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

(5)

которое впервые было выведено И. Б. Мещерским (1859-1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н.И.Кибальчичем (1854 - 1881). В 1903 г. К. Э. Циолковский (1857—1935) опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя, поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (4) к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы. Полагая и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m₀ то . Следовательно,

(6)

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты т₀; 2) чем больше скорость и истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (5) и (6) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью с распространения света в вакууме.

3. Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый угол α с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F_s на направление перемещения (F_s = Fcos α), умноженной на перемещение точки приложения силы:

(1)

Сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому в общем случае формулой (1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение , то силу можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным. Элементарной работой силы на перемещении называется скалярная величина

где α — угол между векторами и ; — элементарный путь; F_s — проекция вектора на вектор (рис. 1).

_{рис. 1}

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

(2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F_s от пути s вдоль траектории 1 — 2.

_{Рис. 2}

Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 2), тогда искомая работа А определяется на графике площадью затонированной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F = const и α = const, то получим

где s — путь, пройденный телом [см. также формулу (1)].

Из формулы (1) следует, что при работа силы положительна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости движения (см. рис. 1). Если то работа силы отрицательна. При (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж = 1 Н × м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(3)

За время dt сила совершает работуи мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = = 1 Дж/с).

4. Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия механической системы — энергия механического движения этой системы.

Сила , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение , получим

Так как, то откуда

Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

(1)

Из формулы (1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее механического движения.

При выводе формулы (1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий тел, входящих в систему. Так, кинетическая энергия системы из п материальных точек равна

где v_i — скорость i-й материальной точки массой т_i.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.

Тела, находясь в потенциальном поле сил, обладают потенциальной энергией П. Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком «—» (работа совершается за счет убыли потенциальной энергии):

(2)

Работа dА выражается как скалярное произведение силы на перемещение (см. выше), и выражение (2) можно записать в виде

(3)

Следовательно, если известна функция , то из формулы (3) можно найти силу по модулю и направлению.

Согласно формуле (3), потенциальная энергия

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не существенно, так как в физические соотношения входит или разность потенциальных энергий в двух точках, или производная функции П по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении условно считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а потенциальную энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли,

(4)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П₀ = 0. Выражение (4) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h')

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где F_{х упр} — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак «—» указывает на то, что F_{х упр} направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и направлена противоположно ей, т.е.

Элементарная работа (dA, совершаемая силой F_x при бесконечно малой деформации dx,

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия:

т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

5. Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии — результат обобщения многочисленных опытных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711 — 1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814 — 1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821 — 1894).

Рассмотрим систему материальных точек массами т_1, т₂, ..., т_п, движущихся со скоростями . Пусть — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а — равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим . При v << с массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Двигаясь под действием сил, материальные точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные . Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что , получим

Сложив эти уравнения, получим

(1)

Первое слагаемое левой части равенства (1)

где dТ — приращение кинетической энергии системы.

Второе слагаемое равно элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком «—», т.е. равно элементарному приращению потенциальной энергии dП системы.

Правая часть равенства (1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

(2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т.е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними не консервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (2) следует, что

откуда

(3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной, что и демонстрируется на примере свободного падения тела (рис. 3) без учета сопротивления среды. Этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

Рис. 3

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Удар (или соударение) — это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или бильярдных шаров) сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д.

Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара испытывают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления ε:

Если для сталкивающихся тел ε = 0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если ε = 1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел 0 < ε < 1 (например, для стальных шаров ε ≈ 0,56, для шаров из слоновой кости ε ≈ 0,89, для свинца ε ≈ 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Рис. 4

Обозначим скорости шаров массами т₁ и т₂ до удара через и , после удара — через и (рис. 4). В случае прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(1)

(2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получаем

(3)

(4)

откуда

(5)

Решая уравнения (3) и (5), находим

(6)

(7)

Разберем несколько примеров.

1. При v₂ = 0

(8)

(9)

^{Рис. 8}

Проанализируем выражения (8) и (9) для двух шаров различных масс:

а) т₁ = т₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (v₂ = 0) (рис. 8), то после удара остановится первый шар (v'₁ = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v'₂ = v₁);

б) m₁ > т₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v'₁ < v₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v'₂ > v'₁) (рис. 9);

Рис. 9 _{Рис. 10}

в) m₁ < т₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. v'₂ < v₁ (рис. 10);

г) т₂ >> т₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (8) и (9) следует, что .

2. При т₁ = т₂ выражения (6) и (7) будут иметь вид

т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 11).

Рис. 11

Если массы шаров m₁ и т₂, их скорости до удара и , то, используя закон сохранения импульса, можно записать

где v — скорость движения шаров после удара. Тогда

(10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m₁ = m₂), то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (10), получаем

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂ = 0), то

Когда т₂ >> т₁ (масса неподвижного тела очень большая), то v << v₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (т₁ >> т₂), тогда v ≈ v₁ и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

Элементы динамики вращательного движения

твердого тела

Лекция 4

Цель: Рассмотреть элементы динамики вращательного движения. Изучить Момент инерции, момент силы, момент импульса. Ознакомиться с уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

План:

1. Момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения.

2. Кинетическая энергия вращающегося тела.

3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

5. Свободные оси. Гироскоп

1. Момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения.

При изучении вращения твердых тел пользуются понятием момента инерции. Момент инерции тела — мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и массы при поступательном движении.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

Суммирование производится по всем элементарным массам m_i, на которые разбивается тело (рис. 1).

Рис. 1

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 2). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr.

Рис. 2

Момент инерции каждого полого цилиндра d J = r²dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhdr. Если ρ — плотность материала, то dm = 2πrhρdr и dJ= 2πhρr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как πR²h - объем цилиндра, то его масса т = πR²hρ, а момент инерции

Таблица 1

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы та тела на квадрат расстояния а между осями:

(1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

2. Кинетическая энергия вращающегося тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т₁, т₂, ..., т_п, находящиеся на расстоянии r₁, r₂, r_n от оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами т_i, опишут окружности различных радиусов r_i, и будут иметь различные линейные скорости v_i, (рис. 3).

Рис. 3

Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(2)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (2), получим

где J_z — момент инерции тела относительно оси z.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(3)

Из сравнения формулы (3) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (), следует, что, как уже указывалось (в предыдущем вопросе), момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. Формула (3) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где т — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; J_c — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω — угловая скорость тела.

3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Для характеристики вращательного эффекта силы при действии ее на твердое тело вводят понятие момента силы. Различают моменты силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси.

Рис. 4

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина , определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу (рис. 4):

где — псевдовектор (векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль момента силы

(4)

где α — угол между и ;

r sin α = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Рис. 5

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 5). Значение момента M_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

рис.6

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 6). Пусть сила приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α — угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = r dφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

(5)

Учитывая (4), можем записать

где Frsinα = Fl = M_z - момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

но

поэтому , или .

Учитывая, что , получим

(6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

(7)

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, а роль массы «выполняет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

рис.7

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; — импульс материальной точки (рис. 7); — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса

где α — угол между векторами и ;l — плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i, с некоторой скоростью. Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора . Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу (2) , получим

т.е. (8)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (8) по времени:

т.е.

Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

(9)

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда

(10)

Выражение (10) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий на вытянутых руках гантели (рис. 8), приведен во вращение с угловой скоростью ω₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω₂ возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Рис. 8

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 2).

Таблица 2

5. Свободные оси. Гироскоп

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения).

Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис. 9).

Рис. 9

Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела. Так, вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (см. рис. 9).

Рис. 10

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закрепленный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое вращение, то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис. 10). Это и есть ось свободного вращения (момент инерции при этом положении палочки максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей (аккуратно снять верхний конец нити с крючка шпинделя), то положение оси вращения в пространстве в течение некоторого времени сохраняется.

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе (рис. 11).

рис.11

Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения.

Для свободно вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его свободной оси, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс, равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (10), = const, т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направление в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в пространстве и ось гироскопа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (9), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта.

Рис. 12

Оно состоит в том, что под действием пары сил , приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа О₁ О₁ (рис. 12) поворачивается вокруг прямой О₃О₃, а не вокруг прямой О₂ О₂, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O_l O₁ и О₂О₂ лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃ и силы перпендикулярны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент пары сил направлен вдоль прямой О₂О₂. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение d = = dt (направление d совпадает с направлением ) и станет равным = + d. Направление вектора совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃О₃. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил и велик, изменение момента импульса d гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчета и являются частным случаем кориолисовой силы инерции.

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов — поддержание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т.д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Впервые гироскоп применен французским физиком Ж.Фуко (1819 — 1868) для доказательства вращения Земли.

Основы молекулярной физики

Лекция 5

Цель: Ознакомиться с методами исследования, применяемыми в молекулярной физике и термодинамике. Рассмотреть модель идеального газа и законы, описывающие поведение идеальных газов. Изучить основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Ознакомиться с барометрической формулой и распределением Больцмана.

План:

1. Статистический и термодинамический методы исследования. Термодинамические параметры

2. Идеальный газ. Изопроцессы. Опытные законы идеального газа

3. Уравнение состояния идеального газа

4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

5. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

6. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

1. Статистический и термодинамический методы исследования

Молекулярная физика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.

Молекулярная физика — раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.

Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокупного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода. Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т.д.). Например, температура тела определяется скоростью беспорядочного движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы. Таким образом, макроскопические характеристики тел имеют физический смысл лишь в случае большого числа молекул.

Термодинамика — раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных законах, установленных в результате обобщения опытных данных.

Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод несколько ограничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными методами исследования.

Термодинамика имеет дело с термодинамической системой — совокупностью макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основа термодинамического метода — определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) — совокупностью физических величин, характеризующих свойства термодинамической системы. Обычно в качестве параметров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.

Для описания свойств газов используются микроскопические параметры (масса молекулы, скорость молекул, ее энергия и др.) и макроскопические параметры (температура, давление, объем газа).

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом. Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой системы при этом не изменяются).

2. Идеальный газ. Изопроцессы. Опытные законы идеального газа

Чтобы облегчить изучение свойств газов, реальные газы заменяют их упрощенной моделью, которая в физике называется идеальным газом. Слово «идеальный» означает «воображаемый, реально не существующий». Введение понятия идеального газа позволяет отвлечься от особенностей каждого газа в отдельности и сформулировать законы, общие для всех газов. Эти законы дают возможность использовать свойства газов на практике с учетом того, что они являются приближенными.

В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моделью идеального газа, согласно которой считают, что:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

В природе идеальных газов нет. Молекулы реальных газов обладают конечными размерами и взаимодействуют друг с другом с силами, которые быстро убывают с увеличением расстояния между частицами. Однако по мере уменьшения плотности газа собственный объем молекул становится все меньше по сравнению с объемом, занимаемым газом, а средние расстояния между частицами увеличиваются настолько, что силами взаимодействия молекул можно пренебречь. Таким образом, наиболее близко свойствам идеального газа соответствуют достаточно разреженные газы. Модель идеального газа можно использовать также при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нормальным (например, водород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся поправки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие молекулярные силы, можно перейти к теории реальных газов.

Процесс, при котором температура поддерживается неизменной (T=const), называется изотермическим. Если сохраняется постоянным давление (p=const), то процесс называется изобарическим. При сохранении постоянного объема газа (V=const) процесс называется изохорическим.

Опытным путем, еще до появления молекулярно-кинетической теории, был установлен целый ряд законов, описывающих поведение идеальных газов, которые мы и рассмотрим.

Рассмотрим законы, описывающие поведение идеальных газов.

Закон Бойля — Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

₍₁₎

График зависимости между параметрами состояния газа при постоянной температуре называется изотермой. Изотермы в координатах р, V представляют собой гиперболы, расположенные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс (рис. 1).

Рис. 1

При изотермическом процессе плотность газа прямо пропорциональна его давлению:

.

Законы Гей-Люссака:

1) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:

(2)

Т.е., это изобарный процесс.

2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой:

(3)

Т.е., это изохорный процесс.

Второй газон Гей-Люссака еще называют законом Шарля.

В этих уравнениях t — температура по шкале Цельсия, р₀ и V₀ — давление и объем при 0 °С, коэффициент α = 1/273,15 К^-1. T = 273 + t

Причем в уравнении (2) α называется коэффициентом объемного расширения газа, а в уравнении (3) - термическим коэффициентом давления газа, но для всех газов они равны.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным.

Рис. 2

На диаграмме в координатах V, t (рис. 2) этот процесс изображается прямой, называемой изобарой.

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным. На диаграмме в координатах р, t (рис. 3) он изображается прямой, называемой изохорой.

Рис. 3

Из (2) и (3) следует, что изобары и изохоры пересекают ось температур в точке

определяемой из условия 1 + αt = 0. Если перенести начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (см. рис. 3), откуда

Вводя в формулы (2) и (3) термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более удобный вид:

Тогда:

1) Объем некоторой массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре:

(4)

2) Давление данной массы газа, заключенного в постоянный объем, прямо пропорционально абсолютной температуре:

(5)

где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной изобаре или изохоре.

Закон Авогадро гласит: 1 моль любого газа при одинаковых температуре и давлении занимает одинаковый объем. При нормальных условиях этот объем равен 22,41 ∙ 10^-3 м³/моль.

Напомним, что 1 моль различных веществ содержит одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро:

Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений p₁, р₂, …, р_п входящих в нее газов:

Парциальное давление — давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

Схема изопроцессов

3. Уравнение состояния идеального газа

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799—1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака.

_{Рис. 4}

Пусть некоторая масса газа занимает объем V₁, имеет давление р₁ и находится при температуре Т₁. Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р₂, V₂, Т₂ (рис. 4).

Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов:

1) изотермического (изотерма 1—1'),

2) изохорного (изохора 1'—2).

В соответствии с законами Бойля — Мариотта (1) и Гей-Люссака (5) запишем:

₍₆₎

₍₇₎

Исключив из уравнений (6) и (7) p₁', получим

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV / T остается постоянной, т.е.

₍₈₎

Выражение (8) является уравнением Клапейрона, в котором В — газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (8) к одному молю, использовав молярный объем V_m. Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V_m, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению

₍₉₎

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (9), полагая, что 1 моль газа находится при нормальных условиях (р₀ = 1,013·10⁵ Па, Т₀ = 273,15 К, V_m = 22,41·10^-3 м³/моль):

R = 8,31 Дж/(моль·К).

От уравнения (9) для 1 моль газа можно перейти к уравнению Клапейрона — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V_m, то при тех же условиях масса m газа займет объем V = (m/M)·V_m, где М — молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы — килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона — Менделеева для массы т газа

₍₁₀₎

где — количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:

Исходя из этого уравнение состояния (9) запишем в виде

где — концентрация молекул (число молекул в единице объема).

Таким образом, из уравнения

(11)

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м³ газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:

4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

идеальных газов

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку ΔS (рис. 5) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

Рис. 5

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀v — (— m₀v) — = 2m₀v, где т₀ — масса молекулы, v — ее скорость. За время Δt площадки ΔS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ΔS и высотой vΔt (см. рис. 5). Число этих молекул равно пΔSvΔt (n — концентрация молекул).

Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке ΔS под разными углами, имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем из них половина (l/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку ΔS будет

При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

(1)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., v_N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

(2)

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

(3)

Выражение (3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что , получим

(4)

или

(5)

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа т = Nm₀, то уравнение (4) можно переписать в виде

Для 1 моль газа т = М (М — молярная масса), поэтому

где V_m — молярный объем.

С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, pV_m = RT. Таким образом,

откуда

(6)

Так как М = m₀N_A, где т₀ — масса одной молекулы, a N_A — постоянная Авогадро, то из уравнения (6) следует, что

(7)

где — постоянная Больцмана.

Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

Скорости, характеризующие состояние газа:

1) наиболее вероятная

2) средняя_1,13 v_B;

3) средняя квадратичная

Это следует из закона Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

(8)

Для этого использовали формулы (5) и (7).

При предельно низких температурах (близких к 0 К) выражение (8) не справедливо, т. е. средняя кинетическая энергия молекул не пропорциональна температуре. Поэтому утверждение о том, что при 0 К прекращается движение молекул газа, некорректно. В настоящее время доказано, что даже при 0 К частицы вещества совершают так называемые нулевые колебания.

Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.

Экспериментальным подтверждением основных положений и выводов молекулярно-кинетической теории является броуновское движение. Броуновским движением называют непрерывное хаотическое движение малых частиц, взвешенных в жидкости или газе (сила тяжести не влияет на их движение). Броуновское движение не зависит от каких-либо внешних причин, а является следствием движения частиц среды и наличия между частицами среди межмолекулярного пространства.

5. Среднее число столкновений и

средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, совершая хаотическое движение, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом хаотически движущихся молекул, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул .

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 6).

Рис. 6

Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости , и если — среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

_{Рис. 7}

Для определения представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 7).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:

где п — концентрация молекул; V = πd² ( — средняя скорость молекулы или путь, пройденный ею за 1 с).

Таким образом, среднее число столкновений

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

Тогда средняя длина свободного пробега

т.е. обратно пропорциональна концентрации п молекул. С другой стороны, из р = пкТ следует, что при постоянной температуре п пропорциональна давлению р. Следовательно,

6. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова.

_{Рис. 8}

Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 8), то на высоте h + dh оно равно р + dp (при dh > 0 dp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1м²:

где р — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной).

Следовательно,

(1)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа

(т — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что

Подставив это выражение в (1), получим

или

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление изменяется от р₁ до р₂ (см. рис. 1), т.е.

или

(2)

Выражение (2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (2) может быть записано в виде

(3)

где р — давление на высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром).

Его работа основана на использовании формулы (3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (3) можно преобразовать, если воспользоваться выражением р = пкТ:

где п — концентрация молекул на высоте h, п₀ — то же, на высоте h = 0.

Так как М = m₀ N_A (N_A — постоянная Авогадро, m₀ — масса одной молекулы), а R = kN_A, то

(4)

где m₀ gh = П — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

(5)

Выражение (5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Основы термодинамики

Лекция 6

Цель: Изучить первое и второе начала термодинамики. Рассмотреть степени свободы молекул, внутреннюю энергию, теплоемкость многоатомных газов и энтропию. Ознакомиться с обратимыми и необратимыми тепловыми процессами, циклом Карно.

План:

1. Первое начало термодинамики. Число степеней свободы молекулы

2. Работа газа при изменении его объема

3. Теплоемкость многоатомных газов и твердых тел

4. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

5. Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс (цикл)

6. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его КПД для идеального газа

7. Энтропия. Второе начало термодинамики

1. Первое начало термодинамики. Число степеней свободы молекулы

Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы, т.е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода.

Рассмотрим термодинамическую систему, для которой механическая энергия постоянна, а изменяется лишь ее внутренняя энергия. Внутренняя энергия системы может изменяться в результате различных процессов, например совершения над системой работы или сообщения ей теплоты. Так, вдвигая поршень в цилиндр, в котором находится газ, мы сжимаем этот газ, в результате чего его температура повышается, т. е. тем самым изменяется (увеличивается) внутренняя энергия газа. С другой стороны, температуру газа и его внутреннюю энергию можно увеличить за счет сообщения ему некоторого количества теплоты — энергии, переданной системе внешними телами путем теплообмена (процесс обмена внутренними энергиями при контакте тел с разными температурами).

Таким образом, можно говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: работе и теплоте. Энергия механического движения может превращаться в энергию теплового движения, и наоборот. При этих превращениях соблюдается закон сохранения и превращения энергии; применительно к термодинамическим процессам этим законом и является первое начало термодинамики, установленное в результате обобщения многовековых опытных данных.

Допустим, что некоторая система (газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладая внутренней энергией U₁ получила некоторое количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, характеризующееся внутренней энергией U₂, совершила работу А над внешней средой, т. е. против внешних сил. Количество теплоты считается положительным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда система совершает ее против внешних сил. В соответствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутренней энергии ΔU= U₂ — U₁ будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой против внешних сил:

или

(1)

Уравнение (1) выражает первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил.

Выражение (1) для элементарного процесса можно записать в виде

(2)

где δQ — бесконечно малое количество теплоты; dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы; δА — элементарная работа. В этом выражении dU является полным дифференциалом, а δА и δQ таковыми не являются. В дальнейшем будем использовать запись первого начала термодинамики в форме (2).

Из формулы (1) следует, что в СИ количество теплоты выражается в тех же единицах, что работа и энергия, т. е. в джоулях (Дж).

Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, то изменение ее внутренней энергии ΔU = 0. Тогда, согласно первому началу термодинамики,

т.е. вечный двигатель первого рода — периодически действующий двигатель, который совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия, невозможен (одна из формулировок первого начала термодинамики).

Число степеней свободы: это число независимых величин, полностью определяющих положение системы в пространстве. В ряде задач молекулу одноатомного газа (рис., а) рассматривают как материальную точку, которой приписывают три степени свободы поступательного движения. При этом энергию вращательного движения можно не учитывать

В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью (рис., б). Эта система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) лишено смысла. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы (i = 5).

Трехатомная (рис., в) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения.

Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения (ε₀):

Таким образом, средняя энергия молекулы

В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия, отнесенная к 1 моль газа, будет равна сумме кинетических энергий N_А молекул:

Внутренняя энергия для произвольной массы т газа

где М — молярная масса; количество вещества.

2. Работа газа при изменении его объема

Для рассмотрения конкретных процессов найдем в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис.).

Если газ, расширяясь, передвигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то производит над ним работу

где S — площадь поршня; Sdl = dV — изменение объема системы. Таким образом,

(1)

Полную работу А, совершаемую газом при изменении его объема от V₁ до V₂, найдем интегрированием формулы (1):

(2)

Результат интегрирования определяется характером зависимости между давлением и объемом газа. Найденное для работы выражение (2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел.

Произведенную при том или ином процессе работу можно изобразить графически с помощью кривой в координатах р, V. Пусть изменение давления газа при его расширении изображается кривой на рис.

Рис.

При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV, т.е. определяется площадью полоски с основанием dV, тонированной на рисунке. Поэтому полная работа, совершаемая газом при расширении от объема V₁ до объема V₂, определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой р = f(V) и прямыми V₁ и V₂.

Графически можно изображать только равновесные процессы — процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний. Они протекают так, что изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные процессы неравновесны (они протекают с конечной скоростью), но в ряде случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем медленнее протекает процесс, тем он ближе к равновесному). В дальнейшем рассматриваемые процессы будем считать равновесными.

3. Теплоемкость многоатомных газов и твердых тел

Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

Единицей удельной теплоемкости является джоуль на килограмм-кельвин [Дж/(кг·К)].

Молярная теплоемкость — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

(1)

где количество вещества.

Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин [Дж/(моль·К)]. Удельная теплоемкость с связана с молярной С_т соотношением

(2)

где М — молярная масса вещества.

Различают теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается постоянным.

Запишем выражение первого начала термодинамики для 1 моль газа с учетом формул (1 пред. п) и (1):

(3)

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии:

(4)

т. е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме C_V равна изменению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К. Согласно формуле , тогда

(5)

Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (3) можно записать в виде

Учитывая, что не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от р, ни от V, а определяется лишь температурой Т) и всегда равна C_V [см. (4)], и дифференцируя уравнение Клапейрона — Менделеева рV_m = RT по Т (р = const), получаем

(6)

Выражение (6) называется уравнением Майера; оно показывает, что С_р всегда больше C_V на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (5), выражение (6) можно записать в виде

(7)

При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение С_р к C_V:

(8)

Безразмерная величина γ называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Для одноатомных газов (Ne, He и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию идеальности, i = 3, γ = 1,67. Для двухатомных газов (Н₂, N₂, О₂ и др.) i = 5, γ = 1,4. Значения γ, вычисленные по формуле (10), хорошо подтверждаются экспериментом.

Из формул (5) и (7) следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.

Рассмотрим теплоемкость твердых тел. В качестве модели твердого тела рассмотрим правильно построенную кристаллическую решетку, в узлах которой частицы (атомы, ионы, молекулы), принимаемые за материальные точки, колеблются около своих положений равновесия — узлов решетки — в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Таким образом, каждой составляющей кристаллическую решетку частице приписывается три колебательных степени свободы, каждая из которых, согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы, обладает энергией кТ.

Внутренняя энергия 1 моль твердого тела

где N_A — постоянная Авогадро; N_Ak = R (R — молярная газовая постоянная).

Молярная теплоемкость твердого тела

т.е. молярная (атомная) теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова (равна 3R) и не зависит от температуры. Этот закон был эмпирически получен французскими учеными П. Дюлонгом (1785 — 1838) и Л. Пти ( 1791 — 1820) и носит название закона Дюлонга и Пти.

Если твердое тело является химическим соединением (например, NaCl), то число частиц в 1 моль не равно постоянной Авогадро, а равно nN_A, где n — число атомов в молекуле (для NaCl число частиц в 1 моль равно 2N_A, так, в 1 моль NaCl содержится N_A атомов Na и N_A атомов С1). Таким образом, молярная теплоемкость твердых химических соединений

т. е. равна сумме атомных теплоемкостей элементов, составляющих это соединение.

Рис.

Как показывают опытные данные, для многих веществ закон Дюлонга и Пти выполняется с довольно хорошим приближением, хотя некоторые вещества (С, Be, В) имеют большие отклонения от вычисленных значений теплоемкостей. Кроме того, так же как и в случае газов, опыты по измерению теплоемкости твердых тел при низких температурах показали, что она зависит от температуры (рис.). Вблизи нуля кельвин теплоемкость тел пропорциональна Т³, и только при достаточно высоких температурах, характерных для каждого вещества, выполняется условие (1). Алмаз, например, имеет теплоемкость, равную 3R при 1800 К! Однако для большинства твердых тел комнатная температура является уже достаточно высокой.

Расхождение опытных и теоретических значений теплоемкостей, вычисленных на основе классической теории, объяснили, исходя из квантовой теории теплоемкостей, А. Эйнштейн и П. Дебай.

4. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

Среди равновесных процессов, происходящих с термодинамическими системами, выделяются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.

При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.

Как уже указывалось, из первого начала термодинамики () для изохорного процесса следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

Тогда для произвольной массы газа получим

(1)

При изобарном процессе работа газа при увеличении объема от V₁ до V₂ равна

(2)

Если использовать уравнение Клапейрона— Менделеева для выбранных нами двух состояний, то выражение для работы изобарного расширения примет вид

(3)

Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если Т₂ — Т₁ = 1 К, то для 1 моль газа R = А, т. е. R численно равна работе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1К.

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты

его внутренняя энергия возрастает на величину

При этом газ совершит работу, определяемую выражением (3).

Изотермический процесс описывается законом Бойля — Мариотта:

Первое начало термодинамики примет вид для изотермического процесса

т.е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:

(4)

Следовательно, для того чтобы при расширении газа температура не понижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.

Адиабатным называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой (δQ = 0). К адиабатным процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Адиабатным процессом, например, можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуковой волны настолько велика, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиабатные процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.

Из первого начала термодинамики (_), для адиабатного процесса следует, что

(5)

т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Для произвольной массы газа перепишем уравнение (5) в виде

(6)

Уравнение адиабатного процесса запишется в следующем виде

(7)

называемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным Т, V или р, Т исключим из (4) с помощью уравнения Клапейрона —Менделеева соответственно давление или объем:

(8)

(9)

Выражения (7) — (9) представляют собой уравнения адиабатного процесса.

5. Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс (цикл)

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, будет необратимым.

Любой обратимый процесс является равновесным. Обратимость равновесного процесса, происходящего в системе, следует из того, что ее любое промежуточное состояние есть состояние термодинамического равновесия; для него «безразлично», идет процесс в прямом или обратном направлении.

Реальные процессы сопровождаются диссипацией энергии (из-за трения, теплопроводности и т. д.), которая нами не обсуждается. Обратимые процессы — это идеализация реальных процессов. Их рассмотрение важно по двум причинам: 1) многие процессы в природе и технике близки к обратимым; 2) для обратимых процессов термический коэффициент полезного действия максимален, что позволяет указать пути повышения КПД реальных тепловых двигателей.

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На диаграмме p — V равновесный круговой процесс изображается замкнутой кривой (рис.). Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расширения (1 — 2) и сжатия (2 — 1) газа.

а бРис.

Работа расширения (определяется площадью фигуры 1a2V₂V_l1) положительна (dV > 0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2b1 V₁ V₂2) отрицательна (dV < 0). Следовательно, работа, совершаемая газом за цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа > 0 (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым (рис., а), если за цикл совершается отрицательная работа < 0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным (рис., б).

Прямой цикл используется в тепловых двигателях — периодически действующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах — периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой.

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю. Поэтому первое начало термодинамики для кругового процесса

(1)

т. е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому

где Q₁ — количество теплоты, полученное системой; Q₂ — количество теплоты, отданное системой.

Поэтому термический коэффициент полезного действия для кругового процесса

(2)

6. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его КПД для идеального газа

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, — невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя (исторически второе начало термодинамики и возникло из анализа работы тепловых двигателей).

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис.1.

Рис. 1 ^{Рис. 2}

От термостата с более высокой температурой Т₁, называемого нагревателем, за цикл отбирается количество теплоты Q₁ , а термостату с более низкой температурой Т₂, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q₂, при этом совершается работа А = Q₁ - Q₂.

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис. 2.

Системой за цикл от термостата с более низкой температурой Т₂ отбирается количество теплоты Q₂ и отдается за цикл термостату с более высокой температурой Т₁ количество теплоты Q₁. Для кругового процесса, Q = А, но, по условию, Q = Q₂ — Q₁ < 0, поэтому А < 0 и Q₂ — Q₁ = — А или Q₁ . = Q₂ + А, т.е. количество теплоты Q₁ отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре Т₁, больше количества теплоты Q₂, полученного от источника теплоты при более низкой температуре Т₂, на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Из всевозможных круговых процессов важное значение в термодинамике имеет цикл Карно — цикл, состоящий из четырех последовательных обратимых процессов: изотермического расширения, адиабатного расширения, изотермического сжатия и адиабатного сжатия.

Рис.

Прямой цикл Карно изображен на рис., где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1—2 и 3—4, а адиабатные расширение и сжатие — кривыми 2—3 и 4—1. При изотермическом процессе U= const, поэтому, количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

(1)

При адиабатном расширении 2 — 3 теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения А₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии:

Количество теплоты Q₂, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия А₃₄:

(2)

Работа адиабатного сжатия

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

и определяется площадью, тонированной на рис.

Термический КПД цикла Карно,

Применив уравнение для адиабат 2—3 и 4 —1, получим

откуда

(3)

Подставляя (1) и (2) в формулу для η и учитывая (3), получаем

(4)

т. е. для цикла Карно КПД действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника (доказательство теоремы Карно).

Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.

7. Энтропия. Второе начало термодинамики

Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре Т теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты.

Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно . Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно

(1)

Из равенства нулю интеграла (1), взятого по замкнутому контуру, следует, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,

(2)

Функция состояния, дифференциалом которой является , называется энтропией и обозначается S.

Из формулы (1) следует, что для обратимых процессов изменение энтропии

(3)

В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необратимый цикл, возрастает:

(4)

Выражения (3) и (4) относятся только к замкнутым системам, если же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (3) и (4) можно представить в виде неравенства Клаузиуса

(5)

т.е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то, согласно (2), изменение энтропии

(6)

где подынтегральное выражение и пределы интегрирования определяются через величины, характеризующие исследуемый процесс. Энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной. Значение постоянной, с которой определяется энтропия, не играет роли, так как физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропии.

Исходя из выражения (6), найдем изменение энтропии в процессах идеального газа. Поскольку , _{, то}

или

(7)

т. е. изменение энтропии ΔS_l→2 идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1→2.

Так как для адиабатного процесса δQ = 0, то ΔS = 0 и, следовательно, S= const, т.е. адиабатный обратимый процесс протекает при постоянной энтропии. Поэтому его часто называют изоэнтропийным процессом.

Из формулы (7) следует, что при изотермическом процессе (Т₁ = Т₂)

при изохорном процессе (V₁= V₂)

Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сумме энтропии тел, входящих в систему. Свойством аддитивности обладают также внутренняя энергия, масса, объем (температура и давление таким свойством не обладают).

Более глубокий смысл энтропии вскрывают в статистической физике: энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность W состояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние [по определению, W ≥ 1, т.е. термодинамическая вероятность не есть вероятность в математическом смысле (последняя ≤ 1!)].

Согласно Больцману (1872), энтропия системы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом:

(8)

где k — постоянная Больцмана.

Таким образом, энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамической системы. Формула Больцмана (8) позволяет дать энтропии следующее статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядоченности системы. В самом деле, чем больше число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии равновесия — наиболее вероятного состояния системы — число микросостояний максимально, при этом максимальна и энтропия.

Так как реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что все процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии — принцип возрастания энтропии. При статистическом толковании энтропии это означает, что процессы в замкнутой системе идут в направлении увеличения числа микросостояний, иными словами, от менее вероятных состояний к более вероятным — до тех пор, пока вероятность состояния не станет максимальной.

Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Кроме того, можно представить процессы, не противоречащие первому началу, в которых энергия сохраняется, а в природе они не происходят. Появление второго начала термодинамики связано с необходимостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе начало термодинамики определяет направление протекания термодинамических процессов.

Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса (см. § 3), второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.

Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь существенно, что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом (убывать, возрастать, оставаться постоянной). Кроме того, отметим еще раз, что энтропия остается постоянной в замкнутой системе только при обратимых процессах. При необратимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда возрастает.

Формула Больцмана (8) позволяет объяснить постулируемое вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процессах: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статистическое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистическим законом, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих замкнутую систему.

Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:

1) по Кельвину: невозможен круговой прогресс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2) по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Первое и второе начала термодинамики дополняются третьим началом термодинамики, или теоремой Нернста — Планка: энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю кельвин:

Поскольку энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной, то эту постоянную удобно взять равной нулю. Отметим, однако, что это произвольное допущение, так как энтропия по своей сущности всегда определяется с точностью до аддитивной постоянной. Из теоремы Нернста — Планка следует, что теплоемкости С_р и C_V при 0 К равны нулю.

Реальные газы и особенности жидкого и твердого состояний вещества

Лекция 7

Цель: Рассмотреть явления переноса (диффузия, внутреннее трение, теплопроводность). Изучить свойства разреженных газов и уравнение Ван-дер-Ваальса. Рассмотреть теоретические и опытные изотермы реального газа, критические состояния, фазовые превращения и фазовые диаграммы. Рассмотреть поверхностное натяжение, капиллярные явления. Ознакомиться с тепловым расширением твердых тел.

План:

1. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

2. Свойства разреженных газов и уравнение Ван-дер-Ваальса для реальных газов

3. Изотермы реального газа и их анализ

4. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение

5. Смачивание. Капиллярные явления

6. Тепловое расширение твердых тел

Вопросы для самостоятельного изучения:

Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Фазовые переходы I и II рода. Диаграмма состояния. Тройная точка

1. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса). Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса.

Теплопроводность

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е., иными словами, выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:

(1)

где j_E — плотность теплового потока — величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х; λ — теплопроводность; — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак «—» показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знаки у j_E и противоположны).

Нагревание кастрюли на электрической плитке происходит через теплопроводность.

Теплопроводность λ численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно показать, что

(2)

где c_v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме); ρ — плотность газа; — средняя скорость теплового движения молекул; — средняя длина свободного пробега.

Мысленно проделаем опыт.

Две проволоки одинаковой длины и толщины – медную и стальную – укрепим так, чтобы их концы попали в пламя свечи. Кусочками воска приклеим к ним маленькие гвоздики. Мы увидим, что с медной проволоки они начнут падать раньше. Значит, теплота по медной проволоке распространяется быстрее, чем по стальной.

Опыты показывают, что теплопроводность различных веществ различна. Это значит, что при одинаковых условиях они передают теплоту с разной скоростью.

Наибольшей теплопроводностью обладают металлы — она у них в сотни раз больше, чем у воды. Исключением являются ртуть и свинец, но и здесь теплопроводность в десятки раз больше, чем у воды.

Теплопроводность жидкостей (кроме жидких металлов) занимает промежуточное положение между теплопроводностью твердых тел и газов. Тела и вещества, медленно передающие теплоту, называются теплоизоляторами. К ним, например, относятся пенопласт, мех, вата, поролон, синтепон и др. Тела и вещества, быстро передающие теплоту, называюся теплопроводниками. К ним, в первую очередь, относятся все металлы – в твердом и жидком состоянии.

Все газы очень медленно передают теплоту. Явление теплопроводности газов аналогично диффузии. Оба эти явления суть следствия беспорядочного теплового движения молекул (или атомов) газа.

Диффузия

Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности.

Взаимное перемешивание веществ есть следствие непрерывного и беспорядочного движения атомов или молекул (или других частиц) вещества. С течением времени глубина проникновения молекул в «чужое» пространство увеличивается, причем эта глубина существенно зависит от температуры: чем температура выше, тем больше скорость движения частиц вещества и тем быстрее протекает диффузия.

Представим мысленно эксперимент.

Для наблюдения явления диффузии бросим несколько крупинок краски в высокий сосуд с водой. Они опустятся на дно, и вокруг них вскоре образуется облачко окрашенной воды. Оставим сосуд в покое на несколько недель в прохладной темной комнате. Наблюдая за сосудом всё это время, мы обнаружим постепенное распространение окраски по всей высоте сосуда. Говорят, что происходит диффузия краски в воду.

Как объясняется диффузия? Частицы веществ (например, краски и воды), беспорядочно двигаясь, проникают в промежутки друг между другом. А это и означает смешивание веществ.

Однако, в тёплой комнате диффузия протекает быстрее. Например, на солнечном подоконнике диффузия краски в воду завершается заметно раньше (см. рисунки). Кстати, при повышении температуры броуновское движение также ускоряется. Что является следствием повышения температуры тела и приводит к увеличению скорости движения составляющих его частиц.

Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

(3)

где j_m — плотность потока массы — величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х; D — диффузия (коэффициент диффузии); — градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак «—» показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки у j_m и — противоположны).

Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице.

Согласно кинетической теории газов,

(4)

Это явление наблюдается во всех состояниях веществ: в газах, жидкостях и твердых телах. Явление диффузии играет большую роль в природе и технике. Оно способствует поддержанию однородности состава атмосферного воздуха вблизи поверхности Земли. На явлении диффузии основано свойство тканей пищеварительной системы животных и человека «выбора» и извлечения из пищи веществ, необходимых организму. В технике диффузию используют для извлечения различных веществ, например сахара из сырой свеклы, и др. Явление диффузии имеет место при цементации железа (при поверхностном науглероживании железных изделий).

Внутреннее трение (вязкость)

Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:

(5)

где η — динамическая вязкость (вязкость); — градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев; S — площадь, на которую действует сила F. Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (5) можно представить в виде

(6)

где j_р — плотность потока импульса — величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х; — градиент скорости. Знак «—» указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки у j_p и — противоположны).

Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле

(7)

Из сопоставления формул (1), (3) и (6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математических выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.

Формулы (2), (4) и (7) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости между λ, D и η:

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.

2. Свойства разреженных газов и уравнение Ван-дер-Ваальса для реальных газов

Если из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит к увеличению их длины свободного пробега. При достаточно большом разрежении столкновения между молекулами относительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда. Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега сравнима или больше характерного линейного размера d сосуда, в котором газ находится. В зависимости от соотношения и d различают низкий (<<d), средний (≤ d), высокий (> d) и сверхвысокий (>> d) вакуум. Газ в состоянии высокого вакуума называется ультраразреженным.

Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как, например, во многих современных электронных приборах используются электронные пучки, формирование которых возможно лишь в условиях вакуума. Для получения различных степеней разрежения применяются вакуумные насосы. В настоящее время используются вакуумные насосы, позволяющие получить предварительное разрежение (форвакуум) ≈0,13 Па, а также вакуумные насосы и лабораторные приспособления, позволяющие достичь давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа (10^-7-10^-14мм рт. ст.).

Как указывалось, для реальных газов необходимо учитывать размеры молекул и их взаимодействие друг с другом, поэтому модель идеального газа и уравнение Клапейрона — Менделеева pV_m = RT (для 1 моль газа), описывающее идеальный газ, для реальных газов непригодны.

Учитывая собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия, голландский физик И.Ван-дер-Ваальс (1837 —1923) вывел уравнение состояния реального газа. Ван-дер-Ваальсом в уравнение Клапейрона — Менделеева введены две поправки.

1. Учет собственного объема молекул. Наличие сил отталкивания, которые противодействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул, сводится к тому, что фактический свободный объем, в котором могут двигаться молекулы реального газа, будет не V_m, a V_m — b, где b — объем, занимаемый самими молекулами. Объем b равен учетверенному собственному объему молекул. Если, например, в сосуде находятся две молекулы, то центр любой из них не может приблизиться к центру другой молекулы на расстояние, меньшее диаметра d молекулы.

2. Учет притяжения молекул. Действие сил притяжения газа приводит к появлению дополнительного давления на газ, называемого внутренним давлением. По вычислениям Ван-дер-Ваальса, внутреннее давление обратно пропорционально квадрату молярного объема:

(1)

где а — постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярного притяжения; V_m — молярный объем.

Вводя эти поправки, получим уравнение Ван-дер-Ваальса для 1 моль газа (уравнение состояния реальных газов):

(2)

Для произвольного количества вещества ν газа () с учетом того, что V= v∙V_m, уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид

где поправки а и b — постоянные для каждого газа величины, определяемые опытным путем (записываются уравнения Ван-дер-Ваальса для двух известных из опыта состояний газа и решаются относительно а и b).

При выводе уравнения Ван-дер-Ваальса сделан целый ряд упрощений, поэтому оно также весьма приближенное, хотя и лучше (особенно для несильно сжатых газов) согласуется с опытом, чем уравнение состояния идеального газа.

3. Изотермы реального газа и их анализ

Для исследования поведения реального газа рассмотрим изотермы Ван-дер-Ваальса — кривые зависимости р от V_m при заданных Т, определяемые уравнением Ван-дер-Ваальса (2) для 1 моль газа. Эти кривые (рассматриваются для четырех различных температур; рис.1) имеют довольно своеобразный характер.

Рис. 1

При высоких температурах (Т > Т_к) изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением ее формы, оставаясь монотонно спадающей кривой. При некоторой температуре Т_к на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К. Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура Т_к — критической температурой; точка перегиба К называется критической точкой; в этой точке касательная к ней параллельна оси абсцисс. Соответствующие этой точке объем V_к и давление р_к называются также критическими. Состояние с критическими параметрами (р_к, V_к, T_к) называется критическим состоянием. При низких температурах (Т < Т_к) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем монотонно поднимаясь вверх и снова монотонно опускаясь.

Для пояснения характера изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса (из пред. П (2)) к виду

(3)

Уравнение (3) при заданных р и Т является уравнением третьей степени относительно V_m; следовательно, оно может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два мнимых, причем физический смысл имеют лишь вещественные положительные корни.

Рис. 2

Рассматривая различные участки изотермы при Т < Т_к (рис.2), видим, что на участках 1—3 и 5—7 при уменьшении объема V_m давление р растет, что естественно. На участке 3—5 сжатие вещества приводит к уменьшению давления; практика же показывает, что такие состояния в природе не осуществляются. Наличие участка 3—5 означает, что при постепенном изменении объема вещество не может оставаться все время в виде однородной среды; в некоторый момент должно наступить скачкообразное изменение состояния и распад вещества на две фазы. Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии 7—6 — 2—1.

Часть 6—7 отвечает газообразному состоянию, а часть 2—1 — жидкому. В состояниях, соответствующих горизонтальному участку изотермы 6—2, наблюдается равновесие жидкой и газообразной фаз вещества. Вещество в газообразном состоянии при температуре ниже критической называется паром, а пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным. При некоторых условиях могут быть реализованы состояния, изображаемые участками ван-дер-ваальсовой изотермы 5—6 и 2—3. Эти неустойчивые состояния называются метастабильными. Участок 2—3 изображает перегретую жидкость, 5—6 — пересыщенный пар. Обе фазы ограниченно устойчивы.

Рис.3

Если через крайние точки горизонтальных участков семейства изотерм (см. рис. 2) провести линию, то получится колоколообразная кривая (рис. 3), ограничивающая область двухфазных состояний вещества. Эта кривая и критическая изотерма делят диаграмму р, V_m под изотермой на три области: под колоколообразной кривой располагается область двухфазных состояний (жидкость и насыщенный пар), слева от нее находится область жидкого состояния, а справа — область пара.

Пар отличается от остальных газообразных состояний тем, что при изотермическом сжатии претерпевает процесс сжижения. Газ же при температуре выше критической не может быть превращен в жидкость ни при каком давлении.

4. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение

На каждую молекулу жидкости со стороны окружающих молекул действуют силы притяжения, быстро убывающие с расстоянием; следовательно, начиная с некоторого минимального расстояния силами притяжения между молекулами можно пренебречь. Это расстояние (порядка 10^-9 м) называется радиусом молекулярного действия r, а сфера радиуса r — сферой молекулярного действия.

Выделим внутри жидкости какую-либо молекулу А (рис.) и проведем вокруг нее сферу радиусом r. Достаточно, согласно определению, учесть действие на данную молекулу только тех молекул, которые находятся внутри сферы молекулярного действия. Силы, с которыми эти молекулы действуют на молекулу А, направлены в разные стороны и в среднем скомпенсированы, поэтому результирующая сила, действующая на молекулу внутри жидкости со стороны других молекул, равна нулю.

Рис.

Иначе обстоит дело, если молекула, например молекула В, расположена от поверхности на расстоянии, меньшем r. В данном случае сфера молекулярного действия лишь частично расположена внутри жидкости. Так как концентрация молекул в расположенном над жидкостью газе мала по сравнению с их концентрацией в жидкости, то равнодействующая сил F, приложенных к каждой молекуле поверхностного слоя, не равна нулю и направлена внутрь жидкости. Таким образом, результирующие силы всех молекул поверхностного слоя оказывают на жидкость давление, называемое молекулярным (или внутренним). Молекулярное давление не действует на тело, помещенное в жидкость, так как оно обусловлено силами, действующими только между молекулами самой жидкости.

Суммарная энергия частиц жидкости складывается из энергии их хаотического (теплового) движения и потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодействия. Для перемещения молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой надо затратить работу. Эта работа совершается за счет кинетической энергии молекул и идет на увеличение их потенциальной энергии. Поэтому молекулы поверхностного слоя жидкости обладают большей потенциальной энергией, чем молекулы внутри жидкости. Эта дополнительная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое жидкости, называемая поверхностной энергией, пропорциональна площади слоя ΔS:

(1)

где σ — поверхностное натяжение.

Так как равновесное состояние характеризуется минимумом потенциальной энергии, то жидкость при отсутствии внешних сил будет принимать такую форму, чтобы при заданном объеме она имела минимальную поверхность, т.е. форму шара. Наблюдая мельчайшие капельки, взвешенные в воздухе, можем видеть, что они действительно имеют форму шариков, но несколько искаженную из-за действия сил земного тяготения. В условиях невесомости капля любой жидкости (независимо от ее размеров) имеет сферическую форму, что доказано экспериментально на космических кораблях.

Итак, условием устойчивого равновесия жидкости является минимум поверхностной энергии. Это означает, что жидкость при заданном объеме должна иметь наименьшую площадь поверхности, т. е. жидкость стремится сократить площадь свободной поверхности. В этом случае поверхностный слой жидкости можно уподобить растянутой упругой пленке, в которой действуют силы натяжения.

Рис.

Рассмотрим поверхность жидкости (рис.), ограниченную замкнутым контуром. Под действием сил поверхностного натяжения (направлены по касательной к поверхности жидкости и перпендикулярно участку контура, на который они действуют) поверхность жидкости сократилась и рассматриваемый контур переместился в новое положение, отмеченное на рисунке стрелками. Силы, действующие со стороны выделенного участка на граничащие с ним участки, совершают работу

где f — сила поверхностного натяжения, действующая на единицу длины контура поверхности жидкости.

Из рис. видно, что ΔlΔх= ΔS, т. е.

(2)

Эта работа совершается за счет уменьшения поверхностной энергии, т.е.

(3)

Из сравнения выражений (1) — (3) видно, что

(4)

т. е. поверхностное натяжение равно силе поверхностного натяжения, приходящейся на единицу длины контура, ограничивающего поверхность. Единица поверхностного натяжения — ньютон на метр (Н/м) или джоуль на квадратный метр (Дж/м²) [см. (4) и (1)]. Большинство жидкостей при температуре 300 К имеет поверхностное натяжение порядка 10^-2—10^-1 Н/м. Поверхностное натяжение с повышением температуры уменьшается, так как увеличиваются средние расстояния между молекулами жидкости.

Поверхностное натяжение существенным образом зависит от примесей, имеющихся в жидкостях. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение жидкости, называются поверхностно-активными. Наиболее известным поверхностно-активным веществом по отношению к воде является мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхностное натяжение (примерно с 7,5 ∙ 10^-2 до 4,5 ∙ 10^-2 Н/м). Поверхностно-активными веществами, понижающими поверхностное натяжение воды, являются также спирты, эфиры, нефть и др.

Существуют вещества (сахар, соль), которые увеличивают поверхностное натяжение жидкости благодаря тому, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Например, если посолить мыльный раствор, то в поверхностный слой жидкости выталкивается молекул мыла больше, чем в пресной воде. В мыловаренной технике мыло «высаливается» этим способом из раствора.

5. Смачивание. Капиллярные явления

Из повседневной практики известно, что капля воды растекается на стекле и принимает форму, изображенную на рис.1, в то время как ртуть на той же поверхности превращается в несколько сплюснутую каплю (рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность, во втором — не смачивает ее.

Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающихся сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремится увеличить поверхность соприкосновения с твердым телом. Для несмачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между молекулами жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего соприкосновения с твердым телом.

К линии соприкосновения трех сред (точка О есть ее пересечение с плоскостью чертежа) приложены три силы поверхностного натяжения, которые направлены по касательной внутрь поверхности соприкосновения соответствующих двух сред (см. рис. 1 и 2). Эти силы, отнесенные к единице длины линии соприкосновения, равны соответствующим поверхностным натяжениям σ₁₂, σ₁₃, σ₂₃. Угол θ между касательными к поверхностям жидкости и твердого тела называется краевым углом. Условием равновесия капли (см. рис. 1) является равенство нулю суммы проекций сил поверхностного натяжения на направление касательной к поверхности твердого тела, т. е.

откуда

(1)

Из условия (1) вытекает, что краевой угол может быть острым или тупым в зависимости от значений σ₁₃ и σ₁₂.

Если σ₁₃ > σ₁₂, то cosθ > 0 и угол θ — острый (см. рис. 1), т. е. жидкость смачивает твердую поверхность. Если σ₁₃ < σ₁₂, то cosθ < 0 и угол θ — тупой (рис. 2), т.е. жидкость не смачивает твердую поверхность. Если σ₁₃ > σ₁₂ + σ₂₃, то жидкость растекается по поверхности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например, керосин на поверхности стекла), — имеет место полное смачивание (в данном случае θ = 0). Если σ₁₂ > σ₁₃ + σ₂₃ , то жидкость стягивается в шаровую каплю, в пределе имея с ней лишь одну точку соприкосновения (например, капля воды на поверхности парафина), — имеет место полное несмачивание (в данном случае θ = π).

Явления смачивания и несмачивания имеют большое значение в технике. Например, в методе флотационного обогащения руды (отделение руды от пустой породы) ее, мелко раздробленную, взбалтывают в жидкости, смачивающей пустую породу и не смачивающей руду. Через эту смесь продувается воздух, а затем она отстаивается. При этом смоченные жидкостью частицы породы опускаются на дно, а крупинки минералов «прилипают» к пузырькам воздуха и всплывают на поверхность жидкости. При механической обработке металлов их смачивают специальными жидкостями, что облегчает и ускоряет обработку.

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой — отрицательно.

Избыточное давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности равно:

(2)

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна

(3)

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Δр.

Формулы (2) и (3) являются частным случаем формулы Лапласа, определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

(4)

где R₁ и R₂ — радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных нормальных поверхности жидкости в данной точке.

Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.

Для сферической искривленной поверхности (R₁ = R₂ = R) выражение (4) переходит в (2), для цилиндрической (R₁ = R и R₂ = ∞) — избыточное давление

В случае плоской поверхности (R₁ = R₂ = ∞) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.

Если поместить один конец узкой трубки (капилляр) в широкий сосуд, наполненный жидкостью, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости — мениск — имеет вогнутую форму, если не смачивает, — выпуклую (рис.).

Рис.

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давление, определяемое по формуле (п.п.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) pgh уравновешивается избыточным давлением Δр, т.е.

где ρ — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения.

Если r — радиус капилляра, θ — краевой угол, то из рис. следует, что

откуда

(5)

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая опускается, из формулы (5) при θ < π/2 (cosθ > 0) получим положительные значения h, а при θ > π/2 (cosθ < 0) — отрицательные. Из выражения (5) также видно, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (θ = 0) вода (ρ = 1000 кг/м³, σ = 0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h ≈ 3 м.

Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике. Например, влагообмен в почве и растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам.

На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т.д.

6. Тепловое расширение твердых тел

При нагревании возрастает скорость движения молекул и среднее расстояние между ними, а значит, тела изменяют свои размеры. С ростом температуры, как правило, размеры тела увеличиваются; охлаждение приводит к уменьшению его размеров.

Различают линейное и объемное расширение тел. Для твердых тел можно говорить как о линейном, так и об объемном расширении, а для жидкостей - только об объемном расширении.

Коэффициентом линейного расширения твердого тела называется величина, показывающая, на какую часть своей длины при 0°С увеличивается единица длины данного тела при нагревании его на 1 градус.

Зависимость длины твердого тела от температуры выражается формулой

l_t = l₀ (l + αt),

где l_t - длина тела при температуре t°C; l₀ - длина тела при 0°С; α - коэффициент линейного расширения.

Коэффициентом объемного расширения называется величина, показывающая, на какую часть своего объема при 0°С увеличивается единица объема данного тела при нагревании его на 1 градус.

Зависимость объема твердых и жидких тел от температуры выражается формулой

V_t = V₀ (1 + βt),

где V_t - объем тела при температуре t°C; V₀ - объем тела при 0°С; β - коэффициент объемного расширения.

В таблицах обычно не дают значений коэффициентов объемного расширения твердых тел, а при решении задач пользуются соотношением β = 3α.

Плотность вещества при температуре t°C

,

где ρ₀ - плотность тела при 0°С.

Самостоятельно изучить:

Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Фазовые переходы I и II рода. Диаграмма состояния. Тройная точка

Чтобы перейти, например, из твердого в жидкое, или из жидкого в газообразное состояние, необходимо совершить работу по преодолению сил молекулярного притяжения. При этом у вещества возрастает внутренняя энергия. При обратном переходе она уменьшается.

Процесс перехода из твердого состояния в жидкое называется плавлением. Температура, при которой это происходит, называется температурой плавления. Обратный процесс перехода из жидкого в твердое состояние называется кристаллизацией.

Графически процессы плавления и кристаллизации представлены на рис.

Рис.

На рис., а изображена примерная зависимость T(Q), где Q — количество теплоты, полученное телом при плавлении. По мере сообщения твердому телу теплоты его температура повышается, а при температуре плавления Т_пл начинается переход тела из твердого состояния в жидкое. Температура Т_пл остается постоянной до тех пор, пока весь кристалл не расплавится, и только тогда температура жидкости вновь начнет повышаться.

Нагревание твердого тела до Т_пл еще не переводит его в жидкое состояние, поскольку энергия частиц вещества должна быть достаточной для разрушения кристаллической решетки. В процессе плавления теплота, сообщаемая веществу, идет на совершение работы по разрушению кристаллической решетки, а поэтому Т_пл = const до расплавления всего кристалла. Затем подводимая теплота пойдет опять-таки на увеличение энергии частиц жидкости и ее температура начнет повышаться.

Таким образом, для того чтобы тело, находящееся при температуре плавления, расплавить, ему необходимо сообщить количество теплоты Q, равное:

Q_пл = λm,

где λ — удельная теплота плавления, т — масса кристаллического вещества.

Удельная теплота плавления λ — это такое количество теплоты, которое необходимо сообщить 1 килограмму твердого кристаллического вещества, находящегося при температуре плавления, чтобы его расплавить. Удельная теплота плавления измеряется в [λ] = 1 Дж/кг.

Если жидкость охлаждать, то процесс протекает в обратном направлении (рис., б; Q' — количество теплоты, отданное телом при кристаллизации (Q_кр = -λm)): сначала температура жидкости понижается, затем при постоянной температуре, равной Т_пл, начинается кристаллизация, после ее завершения температура кристалла начинает понижаться. Для кристаллизации вещества необходимо наличие так называемых центров кристаллизации — кристаллических зародышей, которыми могут быть не только кристаллики образующегося вещества, но и примеси, а также пыль, сажа и т. д. Отсутствие центров кристаллизации в чистой жидкости затрудняет образование микроскопических кристалликов, и вещество, оставаясь в жидком состоянии, охлаждается до температуры, меньшей температуры кристаллизации, при этом образуется переохлажденная жидкость (на рис., б ей соответствует штриховая кривая). При сильном переохлаждении начинается спонтанное образование центров кристаллизации и вещество кристаллизуется довольно быстро.

Процесс перехода из жидкого состояния в газообразное называется парообразованием, для твердых тел переход из твердого состояния в газообразное (минуя жидкую фазу) — сублимацией (или возгонкой). Температура, при которой это происходит, называется температурой кипения. Обратный процесс перехода из газообразного в жидкое состояние называется конденсацией. Для того чтобы жидкость, находящуюся при температуре кипения, превратить в пар, необходимо сообщить количество теплоты Q, равное:

Q_пар = r·m,

где r — удельная теплота парообразования, т — масса жидкости.

Удельная теплота парообразования r — это такое количество теплоты, которое необходимо сообщить 1 килограмму жидкости, находящейся при температуре кипения, чтобы превратить ее в пар. Удельная теплота парообразования измеряется в [r] = 1 Дж/кг.

При конденсации количество теплоты, отдаваемое паром, определяется формулой Q_кон = - r m. Знак «минус» указывает на то, что теплота в этом случае отдается.

Фазой называется термодинамически равновесное состояние вещества, отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества.

Переход вещества из одной фазы в другую — фазовый переход — всегда связан с качественными изменениями свойств вещества. Примером фазового перехода могут служить изменения агрегатного состояния вещества или переходы, связанные с изменениями в составе, строении и свойствах вещества (например, переход кристаллического вещества из одной модификации в другую).

Различают фазовые переходы двух родов. Фазовый перед I рода (например, плавление, кристаллизация и т. д.) сопровождается поглощением или выделением теплоты, называемой теплотой фазового перехода. Фазовые переходы I рода характеризуются постоянством температуры, изменениями энтропии и объема. Объяснение этому можно дать следующим образом. Например, при плавлении телу нужно сообщить некоторое количество теплоты, чтобы вызвать разрушение кристаллической решетки. Подводимая при плавлении теплота идет не на нагрев тела, а на разрыв межатомных связей, поэтому плавление протекает при постоянной температуре. В подобных переходах — из более упорядоченного кристаллического состояния в менее упорядоченное жидкое состояние — степень беспорядка увеличивается, т. е., согласно второму началу термодинамики, этот процесс связан с возрастанием энтропии системы. Если переход происходит в обратном направлении (кристаллизация), то система теплоту выделяет.

Фазовые переходы, не связанные с поглощением или выделением теплоты и изменением объема, называются фазовыми переходами II рода. Эти переходы характеризуются постоянством объема и энтропии, но скачкообразным изменением теплоемкости. Общая трактовка фазовых переходов II рода предложена советским ученым Л. Д. Ландау (1908—1968). Согласно этой трактовке, фазовые переходы II рода связаны с изменением симметрии: выше точки перехода система, как правило, обладает более высокой симметрией, чем ниже точки перехода. Примерами фазовых переходов II рода являются: переход ферромагнитных веществ (железа, никеля) при определенных давлении и температуре в парамагнитное состояние; переход металлов и некоторых сплавов при температуре, близкой к 0 К, в сверхпроводящее состояние, характеризуемое скачкообразным уменьшением электрического сопротивления до нуля; превращение обыкновенного жидкого гелия (гелия I) при Т = 2,9 К в другую жидкую модификацию (гелий II), обладающую свойствами сверхтекучести.

Для наглядного изображения фазовых превращений используется диаграмма состояния (рис.), на которой в координатах р, Т задается зависимость между температурой фазового перехода и давлением в виде кривых испарения (КИ), плавления (КП) и сублимации (КС), разделяющих поле диаграммы на три области, соответствующие условиям существования твердой (ТТ), жидкой (Ж) и газообразной (Г) фаз. Кривые на диаграмме называются кривыми фазового равновесия, каждая точка на них соответствует условиям равновесия двух сосуществующих фаз: КП — твердого тела и жидкости, КИ — жидкости и газа, КС — твердого тела и газа.

_Рис.

Точка, в которой пересекаются эти кривые и которая, следовательно, определяет условия (температуру Т_тр и соответствующее ей равновесное давление р_тр) одновременного равновесного сосуществования трех фаз вещества, называется тройной точкой. Каждое вещество имеет только одну тройную точку. Тройная точка воды характеризуется температурой 273,16 К (по шкале Цельсия ей соответствует температура 0,01 °С) и является основной реперной точкой для построения термодинамической температурной шкалы.

Термодинамика дает метод расчета кривой равновесия двух фаз одного и того же вещества. Согласно уравнению Клапейрона — Клаузиуса, производная от равновесного давления по температуре равна

где L — теплота фазового перехода; Т — температура перехода (процесс изотермический); (V₂ – V₁) — изменение объема вещества при переходе его из первой фазы во вторую.

Для некоторых же веществ (Н₂О, Ge, чугун и др.) объем жидкой фазы меньше объема твердой фазы, следовательно, увеличение давления сопровождается понижением температуры плавления (штриховая линия на рис.).

Переход кристаллического состояния (характеризуется анизотропией) в жидкое или газообразное может быть только скачкообразным (в результате фазового перехода), поэтому кривые плавления и сублимации не могут обрываться, как это имеет место для кривой испарения в критической точке. Кривая плавления уходит в бесконечность, а кривая сублимации идет в точку, где р = 0 и Т = 0.

Электростатическое поле

Лекция 8

Цель: Ознакомиться с дискретностью заряда и законом его сохранения. Изучить закон Кулона. Рассмотреть напряженность электрического поля, принцип суперпозиции. Электрический диполь. Электрическая теорема Гаусса и ее применение к расчету полей. Потенциал электрического поля. Работа электростатического поля. Потенциал поля и его связь с напряженностью. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля.

План:

1. Закон сохранения электрического заряда

2. Закон Кулона

3. Электрическое поле. Напряженность электростатического поля

4. Электрическая теорема Гаусса и ее применение к расчету полей

5. Потенциал электрического поля. Работа электростатического поля

1. Закон сохранения электрического заряда

Вы наверное наблюдали, что иногда волосы могут притягиваться к какому-нибудь предмету. О чем это свидетельствует? О том, что на волосах скопился электрический заряд. Так что же это такое?

Электрический заряд — это физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитных взаимодействий, т.е. взаимодействий между заряженными частицами или телами. Электрические заряды делятся на положительные и отрицательные. Положительным зарядом обладают стабильные элементарные частицы — протоны и позитроны, а также ионы атомов металлов. Стабильными носителями отрицательного заряда являются электрон и антипротон. Заряды одинакового знака называются одноименными, а противоположного — разноименными.

В обычных условиях макроскопические тела являются электрически нейтральными, т.к. положительно и отрицательно заряженные частицы, образующие атомы, связаны друг с другом электрическими силами и образуют нейтральные системы. Если электрическая нейтральность тела нарушена, то оно называется наэлектризованным. Для электризации тела необходимо, чтобы на нем был создан избыток или недостаток электронов или ионов одного знака.

Электризация тел осуществляется различными способами:

1) соприкосновением — при тесном контакте небольшая часть электронов переходит с одного вещества, у которого связь электронов с телом относительно слаба, на другое;

2) трением — при этом увеличивается площадь соприкосновения тел, и электризация усиливается;

3) через влияние — на основе явления электростатической индукции, т.е. наведения электрического заряда в веществе, помещенном в постоянное электрическое поле;

4) под действием света — на основе фотоэлектрического эффекта, или фотоэффекта; под действием света из проводника могут вылетать электроны в окружающее пространство, в результате чего проводник заряжается.

Многочисленные опыты показывают, что при электризации на телах возникают электрические заряды, равные по модулю и противоположные по знаку.

Отрицательный заряд тела обусловлен избытком электронов на теле по сравнению с протонами, а положительный — недостатком электронов.

При электризации тел выполняется закон сохранения электрического заряда: в замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов всех частиц остается неизменной. Закон справедлив для замкнутой системы, в которую не входят извне и из которой не выходят наружу заряженные частицы:

q₁ + q₂ + … + q_n = const,

где q₁, q₂ и т.д. — заряды частиц. В природе никогда и нигде не возникает электрический заряд одного знака.

Взаимодействие тел, имеющих заряды одинакового или разного знака, можно продемонстрировать на следующих опытах. Наэлектризуем эбонитовую палочку трением о мех и прикоснемся ею к металлической гильзе, подвешенной на шелковой нити. На гильзе и эбонитовой палочке распределяются заряды одного знака (отрицательные заряды). Приближая заряженную отрицательно эбонитовую палочку к заряженной гильзе, можно увидеть, что гильза будет отталкиваться от палочки (рис. 1).

Рис. 1. Взаимодействие зарядов одного знака.	Рис.2. Взаимодействие зарядов разного знака.

Если теперь поднести к заряженной гильзе стеклянную палочку, потертую о шелк (положительно заряженную), то гильза будет к ней притягиваться (рис. 2).

Следовательно, тела, имеющие заряды одинакового знака (одноименно заряженные), взаимно отталкиваются, а тела, имеющие заряды разного знака (разноименно заряженные), взаимно притягиваются.

В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники. Проводники — тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объему. Проводники делятся на две группы: 1) проводники первого рода (металлы) — перенесение в них зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями; 2) проводники второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) — перенесение в них зарядов (положительных и отрицательных ионов) ведет к химическим изменениям. Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) — тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды. Полупроводники (например, германий, кремний) занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. Указанное деление тел является весьма условным, однако большое различие в них концентраций свободных зарядов обусловливает огромные качественные различия в их поведении и оправдывает поэтому деление тел на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Единица электрического заряда (производная единица, так как определяется через единицу силы тока) — кулон (Кл) — электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с:

1 Кл = 1 А × 1 с.

2. Закон Кулона

Силы электростатического взаимодействия зависят от формы, размеров наэлектризованных тел и характера распределения зарядов на этих телах. В некоторых случаях можно пренебречь формой и размерами заряженных тел и считать, что каждый заряд сосредоточен в одной точке. Электрические заряды называются точечными, если размеры тел, на которых они сосредоточены, намного меньше расстояний между телами.

Взаимодействие двух покоящихся точечных зарядов определяется основным законом электростатики, экспериментально установленным в 1785 году, — законом Кулона: сила взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

, (1)

где |q₁|, |q₂| — модули зарядов, r — расстояния между зарядами, F — кулоновская сила, k — коэффициент пропорциональности.

Коэффициент k в СИ принято записывать в форме:

, (2)

где ε₀ = 8,85∙10^-12 Кл²/(Н∙м²) = 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная;

Фарад (Ф) – единица электрической емкости.

Если два точечных заряда помещены в диэлектрик и расстояние от этих зарядов до границ диэлектрика значительно больше расстояния между зарядами, то сила взаимодействия между ними равна:

. (3)

Где ε – диэлектрическая проницаемость среды; для вакуума ε = 1.

Диэлектрическая проницаемость среды всегда больше единицы (ε > 1), поэтому сила, с которой взаимодействуют заряды в диэлектрике, меньше силы взаимодействия их на том же расстоянии в вакууме.

Силы взаимодействия двух заряженных неподвижных точечных тел направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела (рис. 3).

Кулоновские силы, как и гравитационные силы, подчиняются третьему закону Ньютона: .

… Рис. 3

Кулоновская сила является центральной силой. Вектор силы , действующей со стороны второго заряда на первый, направлен в сторону второго заряда, если заряды разных знаков, и в противоположную, если заряды одного знака (рис. 4).

Рис. 4 Взаимодействие разноименных и одноименных электрических зарядов.

Электростатические силы отталкивания принято считать положительными, силы притяжения — отрицательными. Знаки сил взаимодействия соответствуют закону Кулона: произведение одноименных зарядов является положительным числом, и сила отталкивания имеет положительный знак. Произведение разноименных зарядов является отрицательным числом, что соответствует знаку силы притяжения.

В опытах Кулона измерялись силы взаимодействия заряженных шаров с помощью крутильных весов (рис. 5). На тонкой серебряной нити подвешена легкая стеклянная палочка с, на одном конце которой закреплен металлический шарик а, а на другом противовес d. Верхний конец нити закреплен на вращающейся головке прибора е, угол поворота которой можно точно отсчитывать. Внутри прибора имеется такого же размера металлический шарик b, неподвижно закрепленный на крышке весов. Все части прибора помещены в стеклянный цилиндр, на поверхности которого нанесена шкала, позволяющая определять расстояние между шариками а и b при различных их положениях.

Рис. 5

При сообщении шарикам одноименных зарядов они отталкиваются друг от друга. При этом упругую нить закручивают на некоторый угол, чтобы удержать шарики на фиксированном расстоянии. По углу закручивания нити и определяют силу взаимодействия шариков в зависимости от расстояния между ними. Зависимость силы взаимодействия от величины зарядов можно установить так: сообщить каждому

из шариков некоторый заряд, установить их на определенном расстоянии и измерить угол закручивания нити. Затем надо коснуться одного из шариков таким же по величине незаряженным шариком, изменяя при этом его заряд, т.к. при соприкосновении равных по величине тел заряд распределяется между ними поровну. Для сохранения между шариками прежнего расстояния необходимо изменить угол закручивания нити, а следовательно, и определить новое значение силы взаимодействия при новом заряде.

Поверхностной плотностью заряда называется величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности:

, (4)

где q – заряд, равномерно распределенный по поверхности тела площадью S.

3. Электрическое поле. Напряженность электростатического поля

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила. Значит в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле, которое названо электрическим.

Электрическое поле — особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между электрически заряженными частицами.

Электрическое поле — одна из частей электромагнитного поля, особенностью которой является то, что это поле создается электрическими зарядами или заряженными телами, а также действует на эти объекты с некоторой силой. Электрическое поле заряда материально: оно существует независимо от нас в пространстве, обладает определенными свойствами, главное из которых — действие на другие электрические заряды независимо от того, движутся они или нет.

Согласно теории дальнодействия, все взаимодействия, в том числе и электромагнитные, распространяются с бесконечно большой скоростью, т.е. осуществляются мгновенно, непосредственно между электрическими зарядами, находящимися на расстоянии друг от друга.

Современная физика основывается на теории близкодействия, созданной работами английского физика Майкла Фарадея и завершенной английским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом. Согласно этой теории, электромагнитные поля распространяются в пространстве с конечной скоростью, равной скорости света (с = 3∙10⁸ м/с), и взаимодействуют на электрически заряженные частицы или тела, находящиеся в пространстве. Таким образом, каждый электрический заряд создает в окружающем пространстве электрическое поле, причем поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот.

Электрическое поле описывается определенными силовыми (напряженность) и энергетическими (потенциал) характеристиками.

Электрическое поле неподвижных в данной системе отсчета электрически заряженных частиц или тел называется электростатическим. Оно не меняется во времени и является стационарным электрическим полем.

Электростатическое поле существует в пространстве, окружающем электрические заряды (создается только электрическими зарядами), и неразрывно с ними связано. В общем случае электрическое и электромагнитное поля изменяются с течением времени и являются, поэтому переменными, или нестационарными, полями.

Напряженность электрического поля — силовая характеристика поля, физическая величина, равная отношению силы, действующей на помещенный в данную точку поля точечный электрический заряд, к этому заряду:

, (5)

где Е — напряженность электрического поля, F — сила, с которой поле действует на положительный точечный заряд, q — величина заряда.

Напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на неподвижный единичный положительный точечный заряд, который называют также пробным зарядом. Считается, что пробный заряд не искажает изучаемое поле, и его собственное электрическое поле отсутствует.

Единица измерения напряженности электрического поля в СИ:

1 Н/Кл, или 1 В/м, то есть 1 Н/Кл = 1 В/м.

Например, напряженность в данной точке электрического поля равна 6 Н/Кл. Это означает, что в данной точке поля на пробный заряд (неподвижный точечный заряд в 1 Кл) действует сила в 6 ньютонов.

Напряженность поля — величина векторная. Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, и противоположно направлению силы, действующей на отрицательный заряд. Вектор напряженности в любой точке электрического поля направлен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд, причем если заряд положительный (q > 0), то вектор Е направлен от заряда, а если заряд отрицательный (q < 0), то к заряду (рис. 6).

Рис. 6

Сила, действующая на заряд, помещенный в электрическое поле с напряженностью Е, равна:

.

Если электрическое поле образовано несколькими точечными зарядами, то его вектор напряженности Е в данной точке равен векторной сумме напряженностей полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности:

,

где п — число зарядов, создающих электрические поля. В этом состоит принцип суперпозиции (наложения) электрических полей (рис. 7).

Рис. 7 Принцип суперпозиции электрических полей.

Если электрическое поле создано электрическими зарядами в однородном диэлектрике, то при заданном расположении электрических зарядов в пространстве напряженность электростатического поля в такой среде меньше, чем в вакууме:

,

где Е₀ — напряженность электрического поля, создаваемого данной системой зарядов в вакууме; ε — диэлектрическая проницаемость среды.

Линиями напряженности электрического поля (силовыми линиями) называются непрерывные воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности в этой точке электрического поля. Метод силовых линий используют для графического изображения электростатического поля (рис. 8).

Рис. 8

Линии напряженности электрического поля начинаются на положительных электрических зарядах и заканчиваются на отрицательных электрических зарядах или уходят в бесконечность; они разомкнуты. Число линий напряженности (выходящих из заряда или входящих в него) пропорционально величине заряда, а также напряженности электрического поля. Вблизи заряженных тел, где напряженность поля больше, густота линий больше (рис. 9).

Рис. 9

Линии напряженности нигде не пересекаются и непрерывны, так как в каждой точке поля его напряженность имеет определенное направление и единственное значение.

На рис. 9 изображены электростатические поля двух одноименных (а) и разноименных (б) зарядов. Напомним, что одноименно заряженные тела отталкиваются, а разноименно заряженные — притягиваются.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова по модулю и направлению во всех точках пространства, называется однородным электрическим полем. В однородном электрическом поле линии напряженности параллельны друг другу.

Если напряженность поля во всех точках пространства не одинакова по модулю и направлению, то электрическое поле называется неоднородным. Силовые линии в этом случае не параллельны. Например, поле точечного заряда.

Модуль напряженности электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q₀ в некоторой точке, равен:

, (6)

Это выражение можно получить, применяя закон Кулона (1) и (2) и определение понятия напряженности поля (5). Из этого выражения видно, что напряженность электростатического поля точечного заряда прямо пропорционально заряду q₀, создающему это поле, и обратно пропорционально квадрату расстояния r от заряда до данной точки поля. Она не зависит от заряда q, помещенного в данную точку поля. Вектор напряженности направлен вдоль прямой, соединяющей заряд q₀ и данную точку поля (к заряду, если q₀ < 0, и от заряда, если q₀ > 0).

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя.

Электрическим диполем называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q, -q), расстояние l (плечом диполя) между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.

Рис. Диполь

Произведение q∙l = p

называется моментом диполя (или электрическим моментом диполя), прямая линия, соединяющая заряды, - осью диполя.

4. Электрическая теорема Гаусса и ее применение к расчету полей

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Остроградского – Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

Рис. 10

Поток вектора напряженности электрического поля Ф равен

где S – площадь поверхности;

Q = q₁ + q₂ + … +q_n

Теорема звучит следующим образом: поток напряженности, пронизывающий любую замкнутую поверхность, окружающую электрические заряды, пропорционален алгебраической сумме окруженных зарядов.

Теорема Остроградского – Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно очень просто определять напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы. Рассмотрим несколько примеров.

На рис. 11 показана бесконечная плоскость, заряженная с постоянной поверхностной плотностью.

Рис. 11

Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости:

, где σ – поверхностная плотность электрического заряда (см. (4)).

На рис. 12 показана сферическая поверхность, радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ.

Рис. 12

Напряженность электрического поля металлической заряженной сферы радиуса R на расстоянии r ≥ R от центра сферы:

, где q – заряд сферы. Внутри сферы (r΄ < R) Е = 0.

5. Потенциал электрического поля. Работа электростатического поля

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 1) перемещается заряд q₀. Выбранный элементарный отрезок dl, настолько мал, что в пределах его напряженность поля Е постоянна по величине и направлению. Тогда сила, приложенная к заряду

F = q₀E.

Рис. 1

Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

dA = F∙dl cos α. (1)

Проинтегрировав по всему отрезку,

получаем, что работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Как известно, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q₀ в начальной и конечной точках поля заряда q:

A₁₂ = U₁ – U₂, (2)

Потенциальная энергия заряда q₀ в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

. (3)

Для одноименных зарядов q₀ q > 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов q₀ q < 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой п точечных зарядов q₁, q₂, ..., q_n, то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом q₀, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда q₀, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий Ui, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

. (4)

Из формул (3) и (4) вытекает, что отношение U/q₀ не зависит от q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

φ = U / q₀. (5)

Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (5) и (3) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, равен

. (6)

Соответственно работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2 (см. (2), (5), (6)), может быть представлена как

A₁₂ = U₁ – U₂ = q₀ (φ₁ – φ₂), (7)

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электрическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Из выражения (5) следует, что единица потенциала — вольт (В): 1В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная в единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл = = 1Н∙м/(Кл∙м)=1Дж/(Кл∙м) = = 1 В/м.

Из формул (4) и (5) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

φ = φ₁ + φ₂ + … + φ_n , (8)

где φ_i > 0 при q_i > 0; φ_i < 0 при q_i < 0.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом — энергетической характеристикой поля.

Если две точки находятся на расстоянии d вдоль линии напряженности поля, то

, (9)

где φ₁ - φ₂ – разность потенциалов между двумя точками.

Потенциал электрического поля точечного заряда q и потенциал электрического поля металлической заряженной сферы радиусом R на расстоянии r ≥ R от центра сферы:

. (10)

Внутри сферы потенциал во всех точках такой же, как и на поверхности сферы (r = R).

Электрическое поле в веществе

Лекция 9

Цель: Рассмотреть и изучить следующие вопросы: диэлектрики и проводники в электростатическом поле; поляризованность, электрическое смещение. Теорема Гаусса для электрического поля в веществе. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия электрического поля и ее объемная плотность.

План:

1. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике

2. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

3. Проводники в электростатическом поле

4. Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы

5. Энергия электрического поля и ее объемная плотность

Самостоятельно:

1. Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, пироэлектрики, электреты

1. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике

Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна.

Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицательным зарядом — Q, находящимся в центре «тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом, определяемым формулой .

Таким образом, внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика или, иными словами, к поляризации диэлектрика.

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Диэлектрики делят на три группы и, соответственно, различают три вида поляризации:

электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика с неполярными молекулами (N₂, Н₂, О₂, СО₂, СН₄, ...), заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;

ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами (Н₂О, NH₃, SO₂, CO,...) - вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т.е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура;

ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками (NaCl, КС1, КВr,...), заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляризуется, т. е. приобретает отличный от нуля дипольный момент где — дипольный момент i-молекулы. Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной — поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика:

(1)

Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков (за исключением сегнетоэлектриков) поляризованность линейно зависит от напряженности поля . Если диэлектрик изотропный и не слишком велико, то

(2)

где æ (каппа) — диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика; æ — величина безразмерная, причем всегда æ > 0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (хотя, например, для спирта æ ≈ 25, для воды æ = 80).

Для установления количественных закономерностей поля в диэлектрике внесем в однородное внешнее электрическое поле (создается двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями) пластинку из однородного диэлектрика, расположив ее так, как показано на рис.. Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные — против поля. В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +σ', на левой — отрицательного заряда с поверхностной плотностью - σ'. Эти некомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными.

Поверхностная плотность σ' меньше плотности σ свободных зарядов плоскостей, поэтому не все поле компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика .

Таким образом, появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля (поля, создаваемого связанными зарядами), которое направлено против внешнего поля (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика

Поле [поле, созданное двумя бесконечными заряженными плоскостями], поэтому

(3)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов σ'. По (1) полный дипольный момент пластинки диэлектрика p_v = PV = PSd, где S — площадь грани пластинки, d — ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент, согласно , равен произведению связанного заряда каждой грани на расстояние d между ними, т.е. p_v= σ'Sd. Таким образом, PSd = σ'Sd или

, (4)

т.е. поверхностная плотность σ' связанных зарядов равна поляризованности Р.

Подставив в (3) выражения (4) и (2), получаем

откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

(5)

Безразмерная величина

(6)

называется диэлектрической проницаемостью среды. Сравнивая (5) и (6), видим, что ε показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, и характеризует количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.

2. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

Напряженность электростатического поля, согласно (5), зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна е. Вектор напряженности , переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчетах электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электрического смещения, который для электрически изотропной среды, по определению,

(1)

Используя формулы (6) и (2), вектор электрического смещения можно выразить как

(2)

Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м²).

Рассмотрим, с чем можно связать вектор электрического смещения. Связанные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных электрических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряженности , и потому он зависит от свойств диэлектрика.

Вектором описывается электростатическое иоле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вызвать, однако, перераспределение свободных зарядов, создающих поле. Поэтому вектор характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично, как и поле , поле изображается с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности.

Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора — только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора проходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора сквозь эту поверхность

где D_n — проекция вектора на нормаль п к площадке dS.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

(3)

т.е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

Для вакуума D_n = ε₀Е_п (ε=1), тогда поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность равен

Так как источниками поля в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса для поля в самом общем виде можно записать как

где - соответственно алгебраические суммы свободных и связанных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S.

3. Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться. Перемещение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводника означает, что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен (φ = const), т.е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей заряды начали бы по поверхности проводника перемещаться, что, в свою очередь, противоречило бы равновесному распределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса, согласно которой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью,

так как во всех точках внутри поверхности D = 0.

Найдем взаимосвязь между напряженностью Е поля вблизи поверхности заряженного проводника и поверхностной плотностью σ зарядов на его поверхности. Для этого применим теорему Гаусса к бесконечно малому цилиндру с основаниями ΔS, пересекающему границу «проводник —диэлектрик». Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора (рис.).

Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть цилиндрической поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е₁ (а следовательно, и ) равен нулю, поэтому поток вектора сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание цилиндра. Согласно теореме Гаусса, этот поток (D∙ΔS) равен сумме зарядов (Q = σ∙ΔS), охватываемых поверхностью: D∙ΔS = σ∙ΔS, т.е.

(1) или (2)

где ε — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соотношение (2) задает напряженность электростатического поля вблизи поверхности проводника любой формы.

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещаться: положительные — по полю, отрицательные — против поля (рис., а). На одном конце проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, на другом — избыток отрицательного. Эти заряды называются индуцированными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника — перпендикулярными его поверхности (рис., б). Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Так как в состоянии равновесия внутри проводника заряды отсутствуют, то создание внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсутствовать. Если теперь этот проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т.е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита — экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей.

Свойство зарядов располагаться на внешней поверхности проводника используется для устройства электростатических генераторов, предназначенных для накопления больших зарядов и достижения разности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатические генераторы применяются в высоковольтных ускорителях заряженных частиц, а также в слаботочной высоковольтной технике.

4. Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы

Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно , пропорционален заряду проводника.

Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

(1)

называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость также не зависит от заряда проводника и его потенциала.

Единица электроемкости — фарад (Ф): 1 Ф — емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Потенциал уединенного шара радиусом R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен

Используя формулу (1), получим, что емкость шара

(2)

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С ≈ 0,7 мФ). Следовательно, фарад — очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы — миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (2) вытекает также, что единица электрической постоянной ε₀ — фарад на метр (Ф/м).

Чтобы проводник обладал большой электроемкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов.

Конденсатор состоит на двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делят на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ₁ — φ₂) между его обкладками:

(3)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды + Q и - Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними,

(4)

где ε — диэлектрическая проницаемость.

Тогда из формулы (3), заменяя Q = σS, с учетом (4), получим выражение для емкости плоского конденсатора:

(5)

Выражение для емкости цилиндрического конденсатора: (6)

Емкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика

(7)

Из формул (5), (6) и (7) вытекает, что емкость конденсаторов любой формы пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением — разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой — электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединения.

1. Параллельное соединение конденсаторов (рис.).

У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна φ_А – φ_В. Если емкости отдельных конденсаторов С₁, С₂, ..., С_п, то, согласно (3), их заряды равны

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

2. Последовательное соединение конденсаторов (рис.).

У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны но модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых конденсаторов С другой стороны,

откуда

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

5. Энергия электрического поля и ее объемная плотность

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические силы взаимодействия консервативны; следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов Q₁ и Q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:

где φ₁₂ и φ₂₁ - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂. Тогда

поэтому _и

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃, Q₄,..., можно убедиться в том, что в случае п неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(1)

где φ_i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, φ. Увеличим заряд данного проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до φ, необходимо совершить работу

(2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

(3)

3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (3) равна

(4)

где Q — заряд конденсатора; С — его емкость; Δφ — разность потенциалов между обкладками конденсатора.

4. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу (4), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора () и разности потенциалов между его обкладками (Δφ = Ed). Тогда

(5)

где V = Sd — объем конденсатора.

Формула (5) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, — напряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(6)

Выражение (6) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение:

Формулы (4) и (5) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации энергии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия: энергия локализована в поле и носителем энергии является поле.

Постоянный электрический ток проводимости

в металлах, электролитах, газах и вакууме

Лекция 10

Цель: Изучить законы Ома и Джоуля-Ленца, правила Кирхгофа. Ознакомиться с работой и мощностью тока, электропроводностью металлов. Рассмотреть носители тока в металлах. Вывод законов электрического тока. Электрический ток в вакууме и газах. Термоэлектронная эмиссия. Ионизация газов. Несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды. Плазма и ее свойства.

План:

1. Электрический ток, сила и плотность тока. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение

2. Закон Ома. Сопротивление проводников. Работа и мощность тока. Закон Джоуля—Ленца

3. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

4. Элементарная классическая теория электропроводности металлов. Работа выхода электронов из металла

Самостоятельно:

5. Эмиссионные явления и их применение

6. Ионизация газов. Несамостоятельный и самостоятельный газовый разряд и его типы

7. Плазма и ее свойства

1. Электрический ток, сила и плотность тока. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение

В электродинамике — разделе учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроскопических заряженных тел, — важнейшим понятием является понятие электрического тока.

Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводнике под действием приложенного электрического поля свободные электрические заряды перемещаются: положительные — по полю, отрицательные — против поля (рис. 1, а), т.е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости.

Рис. 1

Если же упорядоченное движение электрических зарядов осуществляется перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела (рис. 1, б), то возникает так называемый конвекционный ток.

Для возникновения и существования электрического тока необходимо, с одной стороны, наличие свободных носителей тока — заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно, а с другой — наличие электрического поля, энергия которого, каким-то образом восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I — скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным. Для постоянного тока

где Q — электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника. Единица силы тока — ампер (А).

Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока:

Выразим силу и плотность тока через скорость ‹v› упорядоченного движения зарядов в проводнике. Если концентрация носителей тока равна п и каждый носитель имеет элементарный заряд е (что не обязательно для ионов), то за время dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд Сила тока

а плотность тока j = ne‹v›.

Плотность тока — вектор; направление вектора совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов:

(1)

Единица плотности тока — ампер на метр в квадрате (А/м²).

Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора , т.е.

(2)

где ( — единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с вектором угол α).

Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей (они предполагаются положительными) от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и к исчезновению электрического поля. Поэтому для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы сил неэлектростатического происхождения. Такие устройства называются источниками тока.

Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними.

Природа сторонних сил может быть различной. Например, в гальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами; в генераторе — за счет механической энергии вращения ротора генератора и т. п. Роль источника тока в электрической цепи, образно говоря, такая же, как роль насоса, который необходим для перекачивания жидкости в гидравлической системе. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи:

(3)

ЭДС, как и потенциал, выражается в вольтах.

Напряжением U на участке 1—2 называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (куло-новских) и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи.

Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциалов: напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует ЭДС, т.е. сторонние силы отсутствуют.

2. Закон Ома. Сопротивление проводников. Работа и мощность тока. Закон Джоуля—Ленца

Немецкий физик Г. Ом (1787 —1854) экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т.е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника

(1)

где R — электрическое сопротивление проводника.

Уравнение (1) выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника. Формула (1) позволяет установить единицу сопротивления ом (Ом): 1 Ом — сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А. Величина

называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости — сименс (См): 1 См — проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом. Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

(2)

где ρ — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника и называемый удельным электрическим сопротивлением.

Единица удельного электрического сопротивления — ом-метр (Ом∙м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1,6∙10^-8 Ом∙м) и медь (1,7∙10^-8 Ом∙м). На практике наряду с медными применяются алюминиевые провода. Хотя алюминий и имеет большее, чем медь, удельное сопротивление, но зато обладает меньшей плотностью по сравнению с медью.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления (2) в закон Ома (1), получим

(3)

где величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электрической проводимостью вещества проводника. Ее единица — сименс на метр (См/м).

Учитывая, что — напряженность электрического поля в проводнике, — плотность тока, формулу (3) можно записать в виде

(4)

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора Е, то направления j и Е совпадают. Поэтому формулу (4) можно записать в виде

(5)

Выражение (5) — закон Ома в дифференциальной форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного сопротивления, а значит и сопротивления с температурой описывается линейным законом:

где ρ и ρ₀, R и R₀ — соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при t и 0 °С; α — температурный коэффициент сопротивления. Следовательно, температурная зависимость сопротивления может быть представлена в виде

(6)

где Т— термодинамическая температура.

Рис. 1

Зависимость сопротивления от температуры (6) представлена на рис. 1 (кривая 1). При низких температурах наблюдается отступление от этой зависимости.

Впоследствии было обнаружено, что сопротивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах Т_к (0,14 — 20 К), называемых критическими, характерных для каждого вещества, скачкообразно уменьшается до нуля (кривая 2), т.е. металл становится абсолютным проводником. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, обнаружено в 1911 г. Г. Камерлинг-Оннесом для ртути.

Явление сверхпроводимости объясняется на основе квантовой теории. Практическое использование сверхпроводящих материалов (в обмотках сверхпроводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их низких критических температур. В настоящее время обнаружены и активно исследуются керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при температуре выше 140 К.

На зависимости электрического сопротивления металлов от температуры основано действие термометров сопротивления, которые позволяют по градуированной взаимосвязи сопротивления от температуры измерять температуру с точностью до 0,001 К. Термометры сопротивления, в которых в качестве рабочего вещества используются полупроводники, изготовленные по специальной технологии, называются термисторами. Они позволяют измерять температуру с точностью до миллионных долей кельвин.

Для оценки работы и мощности тока рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U.

За время dt через сечение проводника переносится заряд dq = Idt. При этом силы электростатического поля и сторонние силы совершают работу

(7)

Если сопротивление проводника R, то, используя закон Ома (1), получим, что работа тока

(8)

Из (7) и (8) следует, что мощность тока

(9)

Если сила тока выражается в амперах, напряжение — в вольтах, сопротивление — в омах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность в ваттах. На практике применяются также внесистемные единицы работы тока: ватт-час, киловатт-час.

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,

(10)

Таким образом, используя выражения (10), (7) и (8), получим

(11)

Выражение (11) представляет собой закон Джоуля — Ленца, экспериментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Лен-цем¹.

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна

(12)

Используя дифференциальную форму закона Ома и соотношение , получим

(13)

Формулы (12) и (13) являются обобщенным выражением закона Джоуля —Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.

Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое началось с открытия в 1873 г. русским инженером А.Н.Лодыгиным (1847 — 1923) лампы накаливания. На нагревании проводников электрическим током основано действие электрических муфельных печей, электрической дуги, контактной электросварки, бытовых электронагревательных приборов и т. д.

3. Закон Ома для неоднородного участка цепи.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую ЭДС на участке 1—2 обозначим череза приложенную на концах участка разность потенциалов — через

Тогда

(1)

Выражение (1) представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который является обобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует , то из (1) приходим к закону Ома для однородного участка цепи:

[при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разности потенциалов]. Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 совпадают, тогда из (1) получаем закон Ома для замкнутой цепи:

где — ЭДС, действующая в цепи; R — суммарное сопротивление всей цепи.

В общем случае R = r+R₁ (r— внутреннее сопротивление источника тока, R₁ — сопротивление внешней цепи). Поэтому закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I = 0), то из закона Ома (1) получим, что =, т. е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того чтобы найти ЭДС источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи.

Рассмотрим правила Кирхгофа для участков цепей.

Обобщенный закон Ома позволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т.д.), довольно сложен. Эта задача более просто решается с помощью двух правил Кирхгофа.

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для разветвленных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис.).

Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома, можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, получим

(2)

Уравнение (2) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_i на сопротивления R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС встречающихся в этом контуре:

(3)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определится при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот; ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи.

4. Элементарная классическая теория электропроводности металлов.

Работа выхода электронов из металла

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов, созданной немецким физиком П. Друде (1863 — 1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.

Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде —Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа. Поэтому, применяя выводы молекулярно-кинетической теории, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов

которая для Т= 300 К равна 1,1∙10⁵ м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов происходит их упорядоченное движение, т. е. возникает электрический ток. Среднюю скорость (v) упорядоченного движения электронов можно оценить согласно формуле для плотности тока: Выбрав допустимую плотность тока, например для медных проводов 10⁷ А/м², получим, что при концентрации носителей тока п = 8∙10²⁸ м ^-3 средняя скорость (v) упорядоченного движения электронов равна 7,8∙10^-4 м/с. Следовательно, (v) << (и), т.е. даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обусловливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость ((v) + (и)) можно заменять скоростью теплового движения (и).

Казалось бы, полученный результат противоречит факту практически мгновенной передачи электрических сигналов на большие расстояния. Дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распространение электрического поля со скоростью с (с = 3∙10⁸ м/с). Через время t = l/c ( l – длина цепи) вдоль цепи установится стационарное электрическое поле и в ней начнется упорядоченное движение электронов. Поэтому электрический ток возникает в цепи практически одновременно с ее замыканием.

Рассмотрим вывод основных законов электрического тока в классической теории проводимости металлов.

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью Е = const. Со стороны поля заряд е испытывает действие силы F= еЕ и приобретает ускорение . Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

(1)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время (t) свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега (l) и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной (— средняя скорость теплового движения электронов). Так как , поэтому

Подставив значение (t) в формулу (1), получим

Плотность тока в металлическом проводнике соответственно

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т.е. получили закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности между j и Е есть не что иное, как удельная проводимость материала

(2)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля—Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

. (3)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем (z) столкновений:

(4)

Если п — концентрация электронов, то в единицу времени происходит n(z) столкновений и решетке передается энергия

(5)

которая идет на нагревание проводника. Подставив (3) и (4) в (5), получим энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

(6)

Величина w является удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между w и Е² по (2) есть удельная проводимость γ следовательно, выражение (6) — закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме.

3. Закон Видемана — Франца. Металлы обладают как большой электрической проводимостью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы — свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического (теплового) движения, т.е. осуществляют перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экспериментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности (λ) к удельной проводимости (γ) для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорционально термодинамической температуре:

где β — постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти значение β:, где k — постоянная Больцмана. Это значение хорошо согласуется с опытными данными.

Как показывает опыт, свободные электроны при обычных температурах практически не покидают металл. Следовательно, в поверхностном слое металла должно быть задерживающее электрическое поле, препятствующее выходу электронов из металла в окружающий вакуум. Работа, которую нужно затратить для удаления электрона из металла в вакуум, называется работой выхода. Укажем две вероятные причины существования работы выхода.

1. Если электрон по какой-то причине удаляется из металла, то в том месте, которое электрон покинул, возникает избыточный положительный заряд и электрон притягивается к индуцированному им самим положительному заряду.

2. Отдельные электроны, покидая металл, удаляются от него на расстояния порядка атомных и создают тем самым над поверхностью металла «электронное облако», плотность которого быстро убывает с расстоянием. Это облако вместе с наружным слоем положительных ионов решетки образует двойной электрический слой, поле которого подобно полю плоского конденсатора. Толщина этого слоя равна нескольким межатомным расстояниям (10^-10—10^-9 м). Он не создает электрического поля во внешнем пространстве, но препятствует выходу свободных электронов из металла.

Таким образом, электрон при вылете из металла должен преодолеть задерживающее его электрическое поле двойного слоя. Разность потенциалов Δφ в этом слое, называемая поверхностным скачком потенциала, определяется работой выхода (А) электрона из металла:

где е — заряд электрона.

Так как вне двойного слоя электрическое поле отсутствует, то потенциал среды равен нулю, а внутри металла потенциал положителен и равен Δφ. Потенциальная энергия свободного электрона внутри металла равна — еΔφ и является относительно вакуума отрицательной. Исходя из этого можно считать, что весь объем металла для электронов проводимости представляет потенциальную яму с плоским дном, глубина которой равна работе выхода А.

Работа выхода выражается в электрон-вольтах (эВ): 1 эВ равен работе, совершаемой силами поля при перемещении элементарного электрического заряда (заряда, равного заряду электрона) при прохождении им разности потенциалов в 1 В. Так как заряд электрона равен 1,6∙10^-19 Кл, то 1 эВ = 1,6∙10^-19Дж.

Работа выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты их поверхности и колеблется в пределах нескольких электрон-вольт (например, у калия А = 2,2 эВ, у платины А = 6,3 эВ). Подобрав определенным образом покрытие поверхности, можно значительно уменьшить работу выхода. Например, если нанести на поверхность вольфрама (А = 4,5 эВ) слой оксида щелочно-земельного металла (Са, Sr, Ba), то работа выхода снижается до 2 эВ.

5. Эмиссионные явления и их применение

Если сообщить электронам в металлах энергию, необходимую для преодоления работы выхода, то часть электронов может покинуть металл, в результате чего наблюдается явление испускания электронов, или электронной эмиссии. В зависимости от способа сообщения электронам энергии различают термоэлектронную, фотоэлектронную, вторичную электронную и автоэлектронную эмиссии.

1. Термоэлектронная эмиссия — это испускание электронов нагретыми металлами. Концентрация свободных электронов в металлах достаточно высока, поэтому даже при средних температурах вследствие распределения электронов по скоростям (по энергиям) некоторые электроны обладают энергией, достаточной для преодоления потенциального барьера на границе металла. С повышением температуры число электронов, кинетическая энергия теплового движения которых больше работы выхода, растет и явление термоэлектронной эмиссии становится заметным.

Исследование закономерностей термоэлектронной эмиссии можно провести с помощью простейшей двухэлектродной лампы — вакуумного диода, представляющего собой откачанный баллон, содержащий два электрода: катод К и анод А. Катод испускает отрицательные частицы — электроны.

Если поддерживать температуру накаленного катода постоянной и снять зависимость анодного тока I от анодного напряжения U — вольт-амперную характеристику (рис.), то оказывается, что она не является линейной, т. е. для вакуумного диода закон Ома не выполняется. Зависимость термоэлектронного тока I от анодного напряжения в области малых положительных значений U описывается законом трех вторых [установлен русским физиком С. А. Богуславским (1883 — 1923) и американским физиком И.Ленгмюром (1881-1957)]:

где В — коэффициент, зависящий от формы и размеров электродов, а также их взаимного расположения.

При увеличении анодного напряжения ток возрастает до некоторого максимального значения I_нас, называемого током насыщения. Это означает, что почти все электроны, покидающие катод, достигают анода, поэтому дальнейшее возрастание напряженности поля не может привести к увеличению термоэлектронного тока. Следовательно, плотность тока насыщения характеризует эмиссионную способность материала катода.

2. Фотоэлектронная эмиссия — это эмиссия электронов из металла под действием света, а также коротковолнового электромагнитного излучения (например, рентгеновского).

3. Вторичная электронная эмиссия — это испускание электронов поверхностью металлов, полупроводников или диэлектриков при бомбардировке их пучком электронов. Вторичный электронный поток состоит из электронов, отраженных поверхностью (упруго и неупруго отраженные электроны), и «истинно» вторичных электронов — электронов, выбитых из металла, полупроводника или диэлектрика первичными электронами.

Явление вторичной электронной эмиссии используется в фотоэлектронных умножителях (ФЭУ), применяемых для усиления слабых электрических токов.

4. Автоэлектронная эмиссия — это эмиссия электронов с поверхности металлов под действием сильного внешнего электрического поля. Сила этого тока увеличивается с повышением напряжения на трубке. Токи возникают при холодном катоде, поэтому описанное явление называется также холодной эмиссией. Объяснение механизма этого явления возможно лишь на основе квантовой теории.

6. Ионизация газов. Несамостоятельный и

самостоятельный газовый разряд и его типы

Газы при не слишком высоких температурах и при давлениях, близких к атмосферному, являются хорошими изоляторами. Если поместить в сухой атмосферный воздух заряженный электрометр с хорошей изоляцией, то его заряд долго остается неизменным. Это объясняется тем, что газы при обычных условиях состоят из нейтральных атомов и молекул и не содержат свободных зарядов (электронов и ионов). Газ становится проводником электричества, когда некоторая часть его молекул ионизуется, т.е. произойдет расщепление нейтральных атомов и молекул на ионы и свободные электроны. Для этого газ надо подвергнуть действию какого-либо ионизатора (например, поднеся к заряженному электрометру пламя свечи, наблюдаем спад его заряда; здесь электропроводность газа вызвана нагреванием).

Таким образом, при ионизации газов под действием какого-либо ионизатора происходит вырывание из электронной оболочки атома или молекулы одного или нескольких электронов, что приводит к образованию свободных электронов и положительных ионов. Электроны могут присоединяться к нейтральным молекулам и атомам, превращая их в отрицательные ионы. Следовательно, в ионизованном газе имеются положительные и отрицательные ионы и свободные электроны. Прохождение электрического тока через газы называется газовым разрядом.

Ионизация газов может происходить под действием различных ионизаторов: сильный нагрев (столкновения быстрых молекул становятся настолько сильными, что они разбиваются на ионы), коротковолновое электромагнитное излучение (ультрафиолетовое, рентгеновское и γ-излучения), корпускулярное излучение (потоки электронов, протонов, α-частиц) и т. д. Для того чтобы выбить из молекулы (атома) один электрон, необходимо затратить определенную энергию, называемую энергией ионизации, значения которой для атомов различных веществ лежат в пределах 4 — 25 эВ.

Одновременно с процессом ионизации газа всегда идет и обратный процесс — процесс рекомбинации: положительные и отрицательные ионы, положительные ионы и электроны, встречаясь, воссоединяются между собой с образованием нейтральных атомов и молекул. Чем больше ионов возникает под действием ионизатора, тем интенсивнее идет и процесс рекомбинации.

Строго говоря, проводимость газа никогда не равна нулю, так как в нем всегда имеются свободные заряды, образующиеся в результате действия на газы излучения радиоактивных веществ, имеющихся на поверхности Земли, а также космического излучения. Эта незначительная проводимость воздуха (интенсивность ионизации под действием указанных факторов невелика) служит причиной утечки зарядов наэлектризованных тел даже при хорошей их изоляции.

Характер газового разряда определяется составом газа, его температурой и давлением, размерами, конфигурацией и материалом электродов, приложенным напряжением, плотностью тока.

В результате действия ионизатора газ приобретает некоторую проводимость и в цепи потечет ток, зависимость

Рис.

которого от приложенного напряжения приведена на рис.

На участке кривой О А сила тока возрастает пропорционально напряжению, т. е. выполняется закон Ома. При дальнейшем увеличении напряжения закон Ома нарушается: рост силы тока замедляется (участок А В) и наконец прекращается совсем (участок ВС). Это достигается в том случае, когда ионы и электроны, создаваемые внешним ионизатором за единицу времени, за это же время достигают электродов. В результате получаем ток насыщения (I_нас), значение которого определяется мощностью ионизатора. Ток насыщения, таким образом, является мерой ионизирующего действия ионизатора. Если в режиме ОС прекратить действие ионизатора, то прекращается и разряд. Разряды, существующие только под действием внешних ионизаторов, называются несамостоятельными. При дальнейшем увеличении напряжения между электродами сила тока вначале медленно (участок CD), а затем резко (участок DE) возрастает. Разряд в газе, сохраняющийся после прекращения действия внешнего ионизатора, называется самостоятельным.

При больших напряжениях возникающие под действием внешнего ионизатора электроны, сильно ускоренные электрическим полем, сталкиваясь с нейтральными молекулами газа, ионизируют их, в результате чего образуются вторичные электроны и положительные ноны. Положительные ионы движутся к катоду, а электроны — к аноду. Вторичные электроны вновь ионизируют молекулы газа, и, следовательно, общее количество электронов и ионов будет возрастать по мере продвижения электронов к аноду лавинообразно. Это является причиной увеличения электрического тока на участке CD (см. рис.). Описанный процесс называется ударной ионизацией.

В результате описанных процессов число ионов и электронов в объеме газа лавинообразно возрастает и разряд становится самостоятельным, т.е. сохраняется после прекращения действия внешнего ионизатора. Напряжение, при котором возникает самостоятельный разряд, называется напряжением пробоя.

В зависимости от давления газа, конфигурации электродов, параметров внешней цепи можно говорить о четырех типах самостоятельного разряда: тлеющем, искровом, дуговом и коронном.

1. Тлеющий разряд возникает при низких давлениях. Если к электродам, впаянным в стеклянную трубку длиной 30 — 50 см, приложить постоянное напряжение в несколько сотен вольт, постепенно откачивая из трубки воздух, то при давлении ≈5,3 — 6,7 кПа возникает разряд в виде светящегося извилистого шнура красноватого цвета, идущего от катода к аноду.

Тлеющий разряд широко используется в технике. Так как свечение положительного столба имеет характерный для каждого газа цвет, то его используют в газосветных трубках для светящихся надписей и реклам (например, неоновые газоразрядные трубки дают красное свечение, аргоновые — синевато-зеленое). В лампах дневного света, более экономичных, чем лампы накаливания, излучение тлеющего разряда, происходящее в парах ртути, поглощается нанесенным на внутреннюю поверхность трубки флуоресцирующим веществом (люминофором), начинающим под воздействием поглощенного излучения светиться. Спектр свечения при соответствующем подборе люминофоров близок к спектру солнечного излучения. Тлеющий разряд используется для катодного напыления металлов. Вещество катода в тлеющем разряде вследствие бомбардировки положительными ионами, сильно нагреваясь, переходит в парообразное состояние. Помещая вблизи катода различные предметы, их можно покрыть равномерным слоем металла.

2. Искровой разряд возникает при больших напряженностях электрического поля (≈3 ∙ 10⁶ В/м) в газе, находящемся под давлением порядка атмосферного. Искра имеет вид ярко светящегося тонкого канала, сложным образом изогнутого и разветвленного.

Объяснение искрового разряда дается на основе стримерной теории, согласно которой возникновению ярко светящегося канала искры предшествует появление слабосветящихся скоплений ионизованного газа — стримеров.

Быстрый нагрев газа ведет к повышению давления и возникновению ударных волн, объясняющих звуковые эффекты при искровом разряде — характерное потрескивание в слабых разрядах и мощные раскаты грома в случае молнии, являющейся примером мощного искрового разряда между грозовым облаком и Землей или между двумя грозовыми облаками.

Искровой разряд используется для воспламенения горючей смеси в двигателях внутреннего сгорания и предохранения электрических линий передачи от перенапряжений (искровые разрядники). При малой длине разрядного промежутка искровой разряд вызывает разрушение (эрозию) поверхности металла, поэтому он применяется для электроискровой точной обработки металлов (резание, сверление). Его используют в спектральном анализе для регистрации заряженных частиц (искровые счетчики).

3. Дуговой разряд. Если после зажигания искрового разряда от мощного источника постепенно уменьшать расстояние между электродами, то разряд становится непрерывным — возникает дуговой разряд. При этом сила тока резко возрастает, достигая сотен ампер, а напряжение на разрядном промежутке падает до нескольких десятков вольт.

Дуговой разряд находит широкое применение для сварки и резки металлов, получения высококачественных сталей (дуговая печь) и освещения (прожекторы, проекционная аппаратура). Широко применяются также дуговые лампы с ртутными электродами в кварцевых баллонах, где дуговой разряд возникает в ртутном паре при откачанном воздухе. Дуга, возникающая в ртутном паре, является мощным источником ультрафиолетового излучения и используется в медицине (например, кварцевые лампы). Дуговой разряд при низких давлениях в парах ртути используется в ртутных выпрямителях для выпрямления переменного тока.

4. Коронный разряд — высоковольтный электрический разряд при высоком (например, атмосферном) давлении в резко неоднородном поле вблизи электродов с большой кривизной поверхности (например, острия). Когда напряженность поля вблизи острия достигает 30 кВ/см, то вокруг него возникает свечение, имеющее вид короны, чем и вызвано название этого вида разряда.

В естественных условиях корона возникает под влиянием атмосферного электричества у вершин мачт (на этом основано действие молниеотводов), деревьев. Вредное действие короны вокруг проводов высоковольтных линий передачи проявляется в возникновении вредных токов утечки. Для их снижения провода высоковольтных линий делаются толстыми. Коронный разряд, являясь прерывистым, становится также источником радиопомех.

Используется коронный разряд в электрофильтрах, применяемых для очистки промышленных газов от примесей. Газ, подвергаемый очистке, движется снизу вверх в вертикальном цилиндре, по оси которого расположена коронирующая проволока. Ионы, имеющиеся в большом количестве во внешней части короны, оседают на частицах примеси и увлекаются полем к внешнему некоронирующему электроду и на нем оседают. Коронный разряд применяется также при нанесении порошковых и лакокрасочных покрытий.

7. Плазма и ее свойства

Плазмой называется сильно ионизованный газ, в котором концентрации положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы. Различают высокотемпературную плазму, возникающую при сверхвысоких температурах, и газоразрядную плазму, возникающую при газовом разряде. Плазма характеризуется степенью ионизации α — отношением числа ионизованных частиц к полному их числу в единице объема плазмы. В зависимости от величины α говорят о слабо (α составляет доли процента), умеренно (α — несколько процентов) и полностью (α близко к 100 %) ионизованной плазме.

Заряженные частицы (электроны, ионы) газоразрядной плазмы, находясь в ускоряющем электрическом поле, имеют разную среднюю кинетическую энергию. Это означает, что температура электронного Т_е и ионного Т_и газов различна, причем Т_е > Т_и. Несоответствие этих температур указывает на то, что газоразрядная плазма является неравновесной, поэтому она называется также неизотермической. Убыль числа заряженных частиц в процессе рекомбинации в газоразрядной плазме восполняется ударной ионизацией электронами, ускоренными электрическим полем. Прекращение действия электрического поля приводит к исчезновению газоразрядной плазмы.

Высокотемпературная плазма является равновесной, или изотермической, т. е. при определенной температуре убыль числа заряженных частиц восполняется в результате термической ионизации. В такой плазме соблюдается равенство средних кинетических энергий, составляющих плазму различных частиц. В состоянии подобной плазмы находятся звезды, звездные атмосферы, Солнце. Их температура достигает десятков миллионов градусов.

Плазма обладает следующими основными свойствами: высокой степенью ионизации газа, в пределе — полной ионизацией; равенством нулю результирующего пространственного заряда (концентрация положительных и отрицательных частиц в плазме практически одинакова); большой электропроводностью, причем ток в плазме создается в основном электронами, как наиболее подвижными частицами; свечением; сильным взаимодействием с электрическим и магнитным полями; колебаниями электронов в плазме с большой частотой (≈10⁸ Гц), вызывающими общее вибрационное состояние плазмы; «коллективным» — одновременным взаимодействием громадного числа частиц (в обычных газах частицы взаимодействуют друг с другом попарно). Эти свойства определяют качественное своеобразие плазмы, позволяющее считать ее особым, четвертым, состоянием вещества.

Изучение физических свойств плазмы дает возможность, с одной стороны, решать многие проблемы астрофизики, поскольку в космическом пространстве плазма — наиболее распространенное состояние вещества, а с другой — открывает принципиальные возможности осуществления управляемого термоядерного синтеза.

Низкотемпературная плазма (< 10⁵ К) применяется в газовых лазерах, термоэлектронных преобразователях и магнитогидродинамических генераторах (МГД-генераторах) — установках для непосредственного преобразования тепловой энергии в электрическую, в плазменных ракетных двигателях, весьма перспективных для длительных космических полетов.

Низкотемпературная плазма, получаемая в плазмотронах, используется для резки и сварки металлов, для получения некоторых химических соединений (например, галогенидов инертных газов), которые не удается получить другими способами, и т.д.

Магнитное поле постоянного тока

Лекция 11

Цель: Ознакомиться с магнитной индукцией. Изучить законы Ампера и Био-Савара-Лапласа. Ознакомиться с магнитными полями простейших систем. Рассмотреть закон полного тока для магнитного поля в вакууме. Ознакомиться с напряженностью магнитного поля и магнитной проницаемостью среды. Рассмотреть поток вектора магнитной индукции и теорему Гаусса для магнитного поля. Ознакомиться с магнитным полем движущегося заряда и силой Лоренца.

План:

1. Магнитное поле и его характеристики

2. Закон Био-Савара-Лапласа. Закон Ампера

3. Циркуляция вектора магнитного поля в вакууме. Магнитные поля соленоида и тороида

4. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для поля В

5. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

6. Магнитное поле движущегося заряда. Сила Лоренца

1. Магнитное поле и его характеристики

Подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты.

Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в нем электрические заряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток.

Подобно тому, как при изучении электростатического поля использовались точечные заряды, при исследовании магнитного поля пользуются замкнутым плоским контуром с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали задается правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке (рис. 1).

рис. 1

Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. Этот результат используется для выбора направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке (рис. 2).

рис. 2

Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественного описания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется по формуле

(1)

где р_т — вектор магнитного момента рамки с током; — вектор магнитной индукции (количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I

(2)

где S — площадь поверхности контура (рамки); п — единичный вектор нормали к поверхности рамки.

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Единица магнитной индукции — тесла (Тл).

Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции.

На рис. 3 изображены линии магнитной индукции полосового магнита; они выходят из северного полюса и входят в южный.

рис. 3

Линии магнитной индукции магнитного поля являются замкнутыми (в отличии от линий напряженности электрического поля).

Магнитное поле описывается также вектором напряженности . Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим соотношением:

(3)

где μ₀ — магнитная постоянная ; μ — безразмерная величина — магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

2. Закон Био-Савара-Лапласа. Закон Ампера

рис. 1

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 1) индукцию поля , записывается в виде

(1)

где — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током; — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля; r — модуль радиуса-вектора .

Направление перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть задано по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора определяется выражением

(2)

где α — угол между векторами и .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равен векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

(3)

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R магнитная индукция поля прямого тока

(4)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током

Итак, магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, А. Ампер установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле, равна

(5)

где — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, — вектор магнитной индукции.

Направление вектора может быть найдено, по общим правилам векторного произведения, откуда следует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца — по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

(6)

где α — угол между векторами и .

рис. 2

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I₁ и I₂ (на рис. 5 токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа к нам), расстояние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током.

Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I₁ на элемент dl второго проводника с током I₂. Ток I₁ создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора определяется правилом правого винта, его модуль по формуле (4) равен

Направление силы с которой поле действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (6), с учетом того, что угол α между элементами тока I₂ и вектором прямой, равен

Подставляя значение для В₁ получим

(7)

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила , с которой магнитное поле тока I₂ действует на элемент dl первого проводника с током I₁ направлена в противоположную сторону и по модулю равна

(8)

Сравнение выражений (7) и (8) показывает, что

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

(9)

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая по формуле (9).

3. Циркуляция вектора магнитного поля в вакууме.

Магнитные поля соленоида и тороида

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля вводят циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; — составляющая вектора в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); α — угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(1)

где п — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Циркуляция вектора В для замкнутого контура в виде окружности радиуса r равна

Согласно выражению (1), получим В∙2πr = μ₀I (в вакууме), откуда

Итак, циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток (рис.).

Рис.

Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный.

На рис. представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

На участке вне соленоида В = 0.

(2)

Из (2) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

(3)

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида — кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис.). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Рис.

Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиусом r. Тогда, по теореме о циркуляции (1), откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N — число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и В∙2πr = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).

4. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для поля

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

(1)

где В_п = В cosα — проекция вектора на направление нормали к площадке dS (α — угол между векторами и ).

Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cosα (определяется выбором положительного направления нормали п).

Поток вектора магнитной индукции Ф_B через произвольную поверхность S равен

(2)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору , В_п = В = const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб = 1 Тл∙м²).

Теорема Гаусса для поля : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

(3)

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Итак, для потоков векторов и сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выражения.

В качестве примера рассчитаем поток вектора сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ, равна

Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

(4)

5. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис.), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Рис.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера, равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dх из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

где— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

(1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Работа, совершаемая силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:

(2)

т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (2) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.

6. Магнитное поле движущегося заряда. Сила Лоренца

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов, поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью . Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

(1)

где — радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М (рис. 1).

рис. 1

Согласно выражению (1), вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль магнитной индукции (1) вычисляется по формуле

(2)

где α — угол между векторами и .

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца и выражается формулой

(3)

где — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора (для Q > 0 направления I и v совпадают, для Q < 0 — противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд.

Рис. 2

На рис. 2 показана взаимная ориентация векторов , (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и для положительного и отрицательного зарядов. На отрицательный заряд сила действует в противоположном направлении. Модуль силы Лоренца

где α — угол между и .

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не меняя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует и электрическое поле с напряженностью , то результирующая сила , приложенная к заряду, равна векторной сумме сил — силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца:

Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость в этой формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля.

Выражение для силы Лоренца (3) позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависят от знака заряда Q частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.

Электромагнитная индукция и электромагнитное поле

Лекция 12

Цель: Ознакомиться с движением заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Рассмотреть ускорители заряженных частиц, их классификацию и особенности. Рассмотреть магнитные моменты атомов и молекул. Ознакомиться с типами магнетиков, понятием намагниченность. Рассмотреть ферромагнетики, их свойства и применение и природу ферромагнетизма. Ознакомиться с опытами и законами Фарадея, правилом Ленца. Рассмотреть понятия самоиндукция и индуктивность. Рассмотреть электромагнитное поле и электромагнитные волны.

План:

1. Движение заряженных частиц в магнитном поле

2. Ускорители заряженных частиц

3. Магнитные свойства веществ. Намагничивание веществ

4. Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики

5. Явление электромагнитной индукции. Самоиндукция, индуктивность

1. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью вдоль линий магнитной индукции, то угол α между векторами и равен 0 или π. Тогда сила Лоренца равна нулю, т.е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно.

Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью , перпендикулярной вектору , то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центростремительное ускорение. Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности, радиус r которой определяется из условия откуда

(1)

Период вращения частицы, т. е. время Т, за которое она совершает один полный оборот,

Подставив сюда выражение (1), получим

(2)

т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду () частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v << с). На этом основано действие циклических ускорителей заряженных частиц.

Рис.

Если скорость заряженной частицы направлена под углом α к вектору (рис.), то ее движение можно представить как наложение двух движений: 1) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью v_׀׀ = v cosα; 2) равномерного движения со скоростью v_┴ = v sinα по окружности в плоскости, перпендикулярной полю. Радиус окружности определяется формулой (4) (в данном случае надо заменить v на v_┴ = v sinα). Поэтому траектория заряженной частицы — спираль, ось которой параллельна магнитному полю (см. рис.).

Шаг винтовой линии

Подставив в последнее выражение (2), получим

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы.

Если скорость заряженной частицы составляет угол α с направлением вектора неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то r и h уменьшаются с увеличением В. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.

2. Ускорители заряженных частиц

Ускорителями заряженных частиц называются устройства, в которых под действием электрических и магнитных полей создаются и управляются пучки высокоэнергетичных заряженных частиц (электронов, протонов, мезонов и т.д.).

Любой ускоритель характеризуется типом ускоряемых частиц, энергией, сообщаемой частицам, разбросом частиц по энергиям и интенсивностью пучка. Ускорители делятся на непрерывные (из них выходит равномерный по времени пучок) и импульсные (из них частицы вылетают порциями — импульсами). Последние характеризуются длительностью импульса. По форме траектории и механизму ускорения частиц ускорители делятся на линейные, циклические и индукционные. В линейных ускорителях траектории движения частиц близки к прямым линиям, в циклических и индукционных — траекториями частиц являются окружности или спирали.

Рассмотрим некоторые типы ускорителей заряженных частиц.

1. Линейный ускоритель. Ускорение частиц осуществляется электростатическим полем, создаваемым, например, высоковольтным генератором. Заряженная частица проходит поле однократно: заряд Q, проходя разность потенциалов φ₁ – φ₂, приобретает энергию Таким способом частицы ускоряются до ≈10 МэВ.

2. Линейный резонансный ускоритель. Ускорение заряженных частиц осуществляется переменным электрическим полем сверхвысокой частоты, синхронно изменяющимся с движением частиц. Таким способом протоны ускоряются до энергий порядка десятков мегаэлектрон-вольт, электроны — до десятков гигаэлектрон-вольт.

3. Циклотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых частиц (протонов, ионов).

Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо выполнить условие синхронизма (условие «резонанса») — периоды вращения частицы в магнитном поле и колебаний электрического поля должны быть равны. При выполнении этого условия частица будет двигаться по раскручивающейся спирали, получая при каждом прохождении через зазор дополнительную энергию. На последнем витке, когда энергия частиц и радиус орбиты доведены до максимально допустимых значений, пучок частиц посредством отклоняющего электрического поля выводится из циклотрона.

Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий примерно 25 МэВ. В случае более высоких энергий период вращения частицы оказывается зависящим от скорости, а именно период вращения увеличивается, в результате чего нарушается условие синхронизма.

4. Фазотрон (синхроциклотрон) — циклический резонансный ускоритель тяжелых заряженных частиц (например, протонов, ионов, α-частиц), в котором управляющее магнитное поле постоянно, а частота ускоряющего электрического поля медленно изменяется с периодом. Движение частиц в фазотроне, как и в циклотроне, происходит по раскручивающейся спирали. Частицы в фазотроне ускоряются до энергий, примерно равных 1 ГэВ (ограничения здесь определяются размерами фазотрона, так как с возрастанием скорости частиц увеличивается радиус их орбиты).

5. Синхротрон — циклический резонансный ускоритель ультрарелятивистских электронов, в котором управляющее магнитное поле изменяется во времени, а частота ускоряющего электрического поля постоянна. Электроны в синхротроне ускоряются до энергий 5-10 ГэВ.

6. Синхрофазотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых заряженных частиц (протонов, ионов), в котором объединяются свойства фазотрона и синхротрона, т.е. управляющее магнитное поле и частота ускоряющего электрического поля одновременно изменяются во времени так, чтобы радиус равновесной орбиты частиц оставался постоянным. Протоны ускоряются в синхрофазотроне до энергий 500 ГэВ.

7. Бетатрон — циклический индукционный ускоритель электронов, в котором ускорение осуществляется вихревым электрическим полем, индуцируемым переменным магнитным полем, удерживающим электроны на круговой орбите. В бетатроне в отличие от рассмотренных выше ускорителей не существует проблемы синхронизации. Электроны в бетатроне ускоряются до энергий 100 МэВ. При W > 100 МэВ режим ускорения в бетатроне нарушается электромагнитным излучением электронов. Особенно распространены бетатроны на энергии 20-50 МэВ.

3. Магнитные свойства веществ. Намагничивание веществ

Рассматривая действие магнитного поля на проводники с током и на движущиеся заряды, мы не интересовались процессами, происходящими в веществе.

Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Другими словами всякое вещество является магнетиком, то есть оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Для понимания механизма этого явления необходимо рассмотреть действие магнитного поля на движущиеся в атоме электроны.

Так как электрон, движется по орбите, эквивалентно круговому току, то он обладает орбитальным магнитным моментом ,модуль которого

(1)

где — сила тока; ν — частота вращения электрона по орбите; S — площадь орбиты.

В то же время электрон обладает собственным механическим моментом импульса, называемым спином (сопровождает вращение электрона вокруг своей оси). Соответственно спину электрона присущ собственный (спиновой) магнитный момент .

Таким образом, общий магнитный момент атома (молекулы) равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

(2)

Подобно тому, как для количественного описания поляризации диэлектриков вводилась поляризованность, для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину – намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

,

где – магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул.

Магнитное поле в веществе складывается их двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагниченным веществом.

Тогда вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля микротоков (поля, создаваемого молекулярными токами):

(3)

Подставив выражения для и в (3), получим

(4)

Как показывает опыт, в несильных полях намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничение, т.е.

(5)

где χ – безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. Для диамагнетиков χ отрицательна (поле молекулярных токов противоположно внешнему), для парамагнетиков – положительна (поле молекулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (5), выражение (4) можно записать в виде

. (6)

Таким образом, безразмерная величина

(7)

представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (7) в (6), придем к соотношению

,

которое ранее постулировалось.

4. Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики

Всякое вещество является магнетиком, т. е. оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Для понимания механизма этого явления необходимо рассмотреть действие магнитного поля на движущиеся в атоме электроны.

Ради простоты предположим, что электрон в атоме движется по круговой орбите. Если орбита электрона ориентирована относительно вектора произвольным образом, составляя с ним угол α (рис. 1), то можно доказать, что она приходит в такое движение вокруг , при котором вектор магнитного момента , сохраняя постоянным угол α, вращается вокруг вектора с некоторой угловой скоростью. Такое движение в механике называется прецессией. Прецессию вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры, совершает, например, диск волчка при замедлении движения.

Рис. 1

Таким образом, электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движение, которое эквивалентно круговому току. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется составляющая магнитного поля, направленная противоположно внешнему полю. Наведенные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект получил название диамагнитного эффекта, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками.

В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку в данном случае магнитные моменты электронов взаимно компенсируются, и суммарный магнитный момент атома [он равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) составляющих атом электронов] равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Bi, Ag, Аu, Сu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т.д.

Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем веществам. Однако наряду с диамагнетиками существуют и парамагнетики — вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля.

У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не обладают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным.

При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается и парамагнетик размагничивается. К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы, Pt, A1 и т.д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и поэтому остается незаметным.

Помимо рассмотренных двух классов веществ — диа- и парамагнетиков, называемых слабомагнитными веществами, существуют еще сильномагнитные вещества — ферромагнетики — вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т.е. они намагничены даже при отсутствии внешнего магнитного поля. К ферромагнетикам кроме основного их представителя — железа (от него и идет название «ферромагнетизм») — относятся, например, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения.

Ферромагнетики помимо способности сильно намагничиваться обладают еще и другими свойствами, существенно отличающими их от диа- и парамагнетиков. Если для слабомагнитных веществ зависимость от линейна, то для ферромагнетиков эта зависимость является довольно сложной. По мере возрастания H намагниченность J сначала растет быстро, затем медленнее и, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение J_наc, уже не зависящее от напряженности поля.

Рис. 2

Подобный характер зависимости J от Н можно объяснить тем, что по мере увеличения намагничивающего поля возрастает степень ориентации молекулярных магнитных моментов по полю. Однако этот процесс начнет замедляться, когда остается все меньше и меньше несориентированных моментов, и, наконец, когда все моменты будут ориентированы по полю, дальнейшее увеличение Н прекращается и наступает магнитное насыщение.

Рис. 3

Магнитная индукция В = μ₀(Н+ J) в слабых полях растет быстро с увеличением Н вследствие возрастания J, а в сильных полях, поскольку второе слагаемое постоянно (J= J_Hac), В возрастает с увеличением Н по линейному закону.

Существенная особенность ферромагнетиков — не только большие значения μ (например, для железа — 5000, для сплава супермаллоя — 800 000!), но и зависимость μ от Н (рис. 3). Вначале μ растет с увеличением Н, затем, достигая максимума, начинает уменьшаться, стремясь в случае сильных полей к 1 (, поэтому при J= J_Hac = const с ростом Н отношение , а μ → 1).

Рис.4

Характерная особенность ферромагнетиков состоит также в том, что для них зависимость J от Н (а следовательно, и В от Н) определяется предысторией намагничивания ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (рис. 4, точка 1), а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то, как показывает опыт, уменьшение описывается кривой 1 — 2, лежащей выше кривой 1 — 0. При Н = 0 , J отличается от нуля, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничивание J_oc.

С наличием остаточного намагничения связано существование постоянных магнитов. Намагничивание обращается в нуль под действием поля Н_с, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничивание. Напряженность Н_с называется коэрцитивной силой.

При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3 — 4), и при Н = - Н _нас достигается насыщение (точка 4). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4 — 5—6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6— 1).

Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного магнитного поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1—2—3—4— 5—6—1, которая называется петлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагничивание ферромагнетика не является однозначной функцией Н, т. е. одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J.

Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик. Переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, происходящий в точке Кюри, не сопровождается поглощением или выделением теплоты, т.е. в точке Кюри происходит фазовый переход II рода.

Наконец, процесс намагничивания ферромагнетиков сопровождается изменением его линейных размеров и объема. Это явление получило название магнитострикции. Величина и знак эффекта зависят от напряженности H намагничивающего поля, от природы ферромагнетика и ориентации кристаллографических осей по отношению к полю.

5.Явление электромагнитной индукции. Самоиндукция, индуктивность

Связь магнитного поля с током привела к многочисленным попыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Эта фундаментальная задача была блестяще решена в 1831 г. английским физиком М.Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции, заключающееся в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного.

Итак, ток, возбуждаемый магнитным полем в замкнутом контуре, называется индукционным, а само явление возбуждения тока посредством магнитного поля – электромагнитной индукцией. Электродвижущая сила, обусловливающая индукционный ток, называется электродвижущей силой индукции.

Обобщая результаты своих опытов Фарадей пришел к следующим выводам.

В замкнутом контуре индуцируется ток во всех случаях, когда происходит изменение потока магнитной индукции сквозь площадь, ограниченную контуром.

Электродвижущая сила индукции пропорциональна скорости изменения потока магнитной индукции:

,

где Ф – поток магнитной индукции, t – время.

Закон электромагнитной индукции Фарадея:

. (1)

э. д. с. E_i электромагнитной индукции в контуре числено равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Этот закон является универсальным: э. д. с. E_i не зависит от способа изменения магнитного потока. Э.д.с. электромагнитной индукции выражается в вольтах.

Знак минус показывает, что увеличение потока вызывает э. д. с. , т.е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение потока вызывает э. д. с. , т.е. направление потока и поля индукционного тока совпадает. Знак минус в формуле (15) является математическим выражением правила Ленца – общего правила для нахождения направления индукционного тока.

Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что созданное им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

Взаимная индукция и самоиндукция являются частными случаями электромагнитной индукции.

Взаимной индукцией называется возбуждение тока в контуре при изменении тока в другом (соседнем) контуре.

На явлении взаимной индукции основано действие индуктивной катушки (бобины), используемой для зажигания горючей смеси в двигателях внутреннего сгорания, а также действие трансформатора, широко применяемого в электрорадиотехнике для измерения силы и напряжения переменного тока.

Самоиндукцией называется явление возникновения э. д. с. индукции в проводнике при изменении в нем тока.

Величина электродвижущей силы самоиндукции, возникающей в замкнутом контуре, пропорциональна скорости изменения силы тока

(2)

где L – индуктивность контура, зависящая от его формы, геометрических размеров и свойств заполняющей его среды.

В системе СИ индуктивность L измеряется в Генри (Гн). Генри - индуктивность такого контура, в котором при изменении тока на 1 А за 1 с возбуждается э. д. с., равная 1 В.

Гармонические колебания (механические и электромагнитные)

Лекция 13

Цель: Ознакомиться с гармоническими колебаниями, их характеристиками. Изучить гармонический осциллятор, пружинный, физический и математический маятники. Рассмотреть примеры сложения гармонических колебаний.

План:

1. Гармонические колебания и их характеристики

2. Механические гармонические колебания

3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

4. Сложение гармонических колебаний

Самостоятельно:

1. Переменный ток. Мощность переменного тока

1. Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи.

Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д.У.Рэлеем (1842-1919), А.Г.Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н.Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л.И.Мандельштам (1879 — 1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

(1)

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания; ω₀ — круговая (циклическая) частота.

Периодически изменяющийся аргумент косинуса (ω_оt + φ) называется фазой колебания. Она определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Величина φ в уравнении гармонических колебаний называется начальной фазой. Она определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в начальный момент времени (t = 0).

Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до —1, то s может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2π, т.е.

откуда

(2)

Величина, обратная периоду колебаний,

(3)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

(4)

(5)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (4) и (5) соответственно равны Аω₀ и Аω²₀. Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на π/2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на π. Следовательно, в моменты времени, когдаприобретает наибольшие значения; когда s достигает максимального отрицательного значения, то имеет наибольшее положительное значение (рис.; начальная фаза φ = 0).

Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)

Решением этого уравнения является выражение (1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом φ, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор , модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис.). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω₀, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от —А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s = A cos (ω_оt + φ). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом φ, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω₀ вокруг этой точки.

2. Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат.

Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (1), где s = х:

(7)

Согласно выражениям (4) и (5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

(8)

Сила F= та, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т, с учетом (7) и (8 равна

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

(9) или

(10)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

(11) или

(12)

Сложив (9) и (11), получим формулу для полной энергии:

. (13)

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул (10) и (12) следует, что Т и П изменяются с частотой 2ω₀, т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. представлены графики зависимости х, Т и П от времени. Так как

из формул (9), (11), (13) следует, что

3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (6):

(14)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными).

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = — кх, где к — жесткость пружины. Уравнение движения маятника в отсутствие сил трения

или

Из выражений (14) и (1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой

(15)

и периодом (16)

Формула (16) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (11) и (15),

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис.).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела в отсутствие сил трения вращающий момент М можно записать в виде

(17)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О; l — расстояние между ней и центром масс маятника.

Вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и в этом отношении аналогичен упругой силе. Поэтому так же, как смещению и упругой силе, моменту М и угловому смещению α приписывают противоположные знаки. При малых колебаниях маятника (малых отклонениях маятника из положения равновесия) sinα ≈ α. Тогда уравнение (17) можно записать в виде

Принимая

(18)

получим уравнение

идентичное с (14), решение которого [см. (1)] известно:

(19)

Из выражения (19) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω₀ [см. (18)1 и периодом

(20)

где - приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (см. рис.). Применяя теорему Штейнера, получим

т.е. 00' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника

(21)

где I — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (21) в формулу (20), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

(22)

Сравнивая формулы (20) и (22), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

4. Сложение гармонических колебаний

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. п.1). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис.).

Так как векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ — φ₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

(23)

В выражении (23) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно задаются соотношениями

(23)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ — φ₁) складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (23) в зависимости от разности фаз (φ₂ — φ₁):

1) φ₂ — φ₁ = ± 2тπ (т = 0, 1, 2, ...), тогда А = А₁ + А₂, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ — φ₁ = ± (2т+1)π (т = 0,1,2,...), тогда А = |А₁ — А₂|, т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω + Δω, причем Δω << ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, чтонайдем

(24)

Результирующее колебание (24) можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А_б которого изменяется по следующему периодическому закону:

(25)

Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Характер зависимости (24) показан на рис., где сплошные линии дают график результирующего колебания (24), а огибающие их штриховые — график медленно меняющейся по уравнению (25) амплитуды.

Определение частоты тона [звука определенной высоты] биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов (камертон), анализа слуха и т.д.

Любые сложные периодические колебания s = f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, различными начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω₀:

(26)

Представление периодической функции в виде (26) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фуръе. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω₀, 2ω₀, 3ω₀,..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

(27)

где α — разность фаз обоих колебаний; А и В — амплитуды складываемых колебаний.

Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (27) параметра t.

Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении cosωt на х/А и sinωt наполучим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:

(28)

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

(29)

где знак «+» соответствует нулю и четным значениям т (рис., а), а знак «—» — нечетным значениям т

(рис., б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой ω и амплитудой , совершающимся вдоль прямой [см. (29)], составляющей с осью х угол

В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

В данном случае уравнение примет вид

(30)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.). Кроме того, если А = В, то эллипс [см. (30)] вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной α).

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

Самостоятельно:

Переменный ток. Сопротивление, емкость,

индуктивность в цепи переменного тока

Возбуждение электродвижущей силы индукции в контуре, вращаемом в магнитном поле, используется в технике для получения электрического тока.

Рис. 1

Рассмотрим плоский прямоугольный контур abсd, который может вращаться вокруг оси 00', перпендикулярной магнитному полю (рис. 1). Пусть магнитное поле является однородным: индукция В = const и контур вращается равномерно с угловой скоростью ω = const. Тогда магнитный поток Ф, связанный с контуром в любой момент времени t, равен

Ф = BS cos φ = BS cos ωt,

где S — площадь, ограниченная контуром; φ = ωt — угол поворота контура, отсчитываемый от начального положения контура, при котором S ┴ В.

При вращении контура поток Ф периодически изменяется. В связи с этим в контуре возникает периодически изменяющаяся э. д. с. индукции, равная, согласно закону Фарадея,

E = – dФ/dt = BSω sin ωt.

Так как максимальное значение этой э. д. с. (наступающее при sin ωt = 1) равно

E_max = BSω,

то E = E_max sin ωt . (1)

Следовательно, если в однородном магнитном поле равномерно вращается проводящий контур, то в нем возникает переменная электродвижущая сила, изменяющаяся по закону синуса.

Эта э. д. с. создает в контуре синусоидальный переменный ток силой

I = E / R₀ = E_max·sin ωt / R₀ = I_max·sin ωt, (2)

где I_max = E_max / R₀ – максимальное значение силы тока; R₀ — омическое сопротивление контура и электрической цепи, в которую отводится ток.

Переменный ток является колебательным процессом (гармоническим колебанием). Поэтому названия характеристик колебательного процесса сохраняются и за характеристиками переменного тока. Именно: E_max называется амплитудой электродвижущей силы, I_max — амплитудой тока, ω — круговой частотой тока, ωt — фазой тока. Переменный ток характеризуется также периодом тока Т и частотой moкa ν, причем

ω = 2π / Т = 2π·ν. (3)

Рис. 2

На рис. 2 представлены графики электродвижущей силы и силы тока. Очевидно, что изменения (колебания) э. д. с. и силы тока совершаются в одинаковых фазах.

Рассмотренный способ получения переменного тока лежит в основе устройства электромашинного генератора переменного тока.

Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам.

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, при приложении к ней переменного напряжения

U = U_m cos ωt, (4)

где U_m — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L → 0, С → 0) (рис. 3, а).

Рис. 3

При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:

I = U / R = (U_m / R) cos ωt = I_m cos ωt,

где амплитуда силы тока

I_m = U_m / R.

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 3, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе (сдвиг фаз между I_m и U_m равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R → 0, С → 0) (рис. 4, а).

Рис. 4

Если в цепи приложено переменное напряжение (4), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э. д. с. самоиндукции

E = – L .

Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид

U_m cos ωt – L = 0,

откуда L = U_m cos ωt. (5)

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

U_L = L (6)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (5) следует, что

dI = (U_m / L)·cos ωt · dt,

или после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим

, (7)

где I_m = U_m / (ω·L).

Величина R_L = ωL (8)

называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлением). Из выражения (7) вытекает, что для постоянного тока (ω = 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подстановка значения U_m = ωLI_m в выражение (5) с учетом (6) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

U_L = ωLI_m cos ωt. (9)

Сравнение выражений (7) и (9) приводит к выводу, что падение напряжения U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на π/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 4, б).

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R → 0, L → 0) (рис. 5, а).

Рис. 5

Если переменное напряжение (4) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи потечет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то

q / C = U_C = U_m cos ωt.

Сила тока

, (10)

где .

Величина

R_C = 1/(ωC)

называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением). Для постоянного тока (ω = 0) R_C= ∞, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

. (11)

Сравнение выражений (10) и (11) приводит к выводу, что падение напряжения U_С отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на π/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 5, б).

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор.

рис. 6

На рис. 6, а представлена цепь, содержащая резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение (4). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения U_R, U_L и U_С. На рис. 6, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и конденсаторе (U_С). Амплитуда U_m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 6, б, угол φ определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что

. (12)

Из прямоугольного треугольника получаем , откуда амплитуда силы тока имеет значение

. (13)

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону

U = U_m cos ωt,

то в цепи течет ток

I = I_m cos (ωt – φ), (14)

где φ и I_m определяются соответственно формулами (12) и (13).

Величина

(15)

Называется полным сопротивлением цепи, а величина

– реактивным сопротивлением.

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

P (t) = U (t)·I (t),

где U (t)=U_m cos ωt, I (t) = I_m cos (ωt – φ) (см. выражения (4) и (14)). Раскрыв cos (ωt – φ), получим

P (t) = I_m U_m cos (ωt – φ) cos ωt = I_m U_m (cos² ωt · cos φ + sin ωt · cos ωt · sin φ).

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что ‹ cos² ωt› = 1/2, ‹sin ωt · cos ωt› = 0, получим

‹P› = I_m U_m cos φ (16)

Из векторной диаграммы (см. рис. 6) следует, что U_m cos φ = RI_m. Поэтому

‹P› = RI_m².

Такую же мощность развивает постоянный ток I = I_m / √2.

Величины

I = I_m / √2, U = U_m / √2

Называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (16) можно записать в виде

‹P› = I U cos φ , (17)

где множитель cos φ называется коэффициентом мощности.

Формула (17) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos φ = 1 и P = IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R = 0), то cos φ = 0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cos φ имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos φ, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

Волновые процессы

Лекция 14

Цель: Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число. Групповая скорость. Энергия волны. Элементы акустики. Эффект Доплера. Ультразвук и его применение. Электромагнитные волны. Энергия электромагнитной волны. Применение электромагнитных волн.

План:

1. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны

2. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение. Принцип суперпозиции

3. Интерференция волн. Стоячие волны

4. Звуковые волны

5. Ультразвук и его применение

1. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. в твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.

Рис. 1

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v; вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением ξ, частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t.

Приведенный график функции ξ(x,t) напоминает график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис. 1). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

или, учитывая, что , где ν — частота колебаний,

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то становится ясным, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, но и совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т.е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

2. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость.

Волновое уравнение. Принцип суперпозиции

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова [по имени русского ученого Н. А. Умова (1846 — 1915), решившего задачу о распространении энергии в среде]. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (см. рис. 1). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение ξ будет зависеть только от х и t, т.е. ξ = ξ(x,t).

На рис. 1 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х = 0, описываются функцией ξ(0,t)= A cos ωt, то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется время , где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

(1)

откуда следует, что ξ(x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(2)

где А = const — амплитуда волны; ω — циклическая частота; φ₀ — начальная фаза волны; определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t; — фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

(3)

Учитывая (3), уравнению (2) можно придать вид

(4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (4) только знаком кх.

Основываясь на формуле Эйлера, уравнение плоской волны можно записать в виде

где физический смысл имеет лишь действительная часть.

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.

. (5)

Продифференцировав выражение (5) и сократив на ω, получим , откуда

(6)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

(7)

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону . Уравнение (7) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (3) вытекает, что фазовая скорость

(8)

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных

или

(9)

где v — фазовая скорость; - оператор Лапласа.

Решением уравнения (9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (9) удовлетворяют, в частности, плоская волна [см. (2)] и сферическая волна [см. (7)]. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

(10)

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье, любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

3. Интерференция волн. Стоячие волны

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов называют когерентностью. Волны являются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Рис. 2

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S_x и S₂ (рис. 2), колеблющимися с одинаковыми амплитудой А_о, частотой ω и постоянной разностью фаз. Согласно (7),

где r₁ и r₂ — расстояния от источников волн до выбранной точки В; k — волновое число; φ₁ и φ₂ — начальные фазы обеих рассматриваемых сферических волн.

Амплитуда результирующей волны в точке В равна

Так как для когерентных источников разность начальных фаз (φ₁ — φ₂) = const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины Δ = r₁ — r₂, называемой разностью хода волн.

В точках, где

(m = 0, 1,2, ...), (11)

наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания . В точках, где

(m = 0,1,2,...), (12)

наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания т = 0, 1, 2, ...называется порядком интерференционного максимума или минимума.

Условия (11) и (12) сводятся к тому, что

(13)

Выражение (13) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точки S₁ и S₂. Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (см. рис. 2), отвечающих условию (φ₁ — φ₂) = 0. Между двумя интерференционными максимумами (на рис. 2 сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (на рис. 2 штриховые линии).

Частным случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн еще и одинаковой поляризацией.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х; в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

(14)

Сложив эти уравнения и учитывая, что [см. (3)], получим уравнение стоячей волны:

(15)

Из уравнения стоячей волны (15) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты ω с амплитудой , зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

(m = 0,1,2,...), (16)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где

(т = 0,1,2,...), (17)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А_СТ = 2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (А_СТ = 0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (16) и (17) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(т = 0,1,2,...); (18)

(т = 0,1,2,...). (19)

Из формул (18) и (19) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны . Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно .

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе [в уравнении (14) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки], все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами [в уравнении (15) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х]. При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Рис. 3

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Если конец веревки закрепить неподвижно (например, к стене), то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной, образуя стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае возникает узел.

Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис. 3, а), если более плотная — узел (рис. 3, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — образуется пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны в пределах между узловыми точками остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

4. Звуковые волны

Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16 — 20 000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с v < 16 Гц (инфразвуковые) и v > 20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так и поперечными, поскольку твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.

Интенсивностью звука (или силой звука) называется величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

Единица интенсивности звука в СИ — ватт деленный на метр в квадрате (Вт/м²).

Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существуют наименьшая (порог слышимости) и наибольшая (порог болевого ощущения) интенсивности звука, которые способны вызвать звуковое восприятие.

Рис. 4

На рис. 4 представлены зависимости порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, является областью слышимости.

Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризующей волновой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Согласно физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:

где I₀ — интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной 10^-12 Вт/м².

Величина L называется уровнем интенсивности звука и выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими, — децибелами (дБ).

Физиологической характеристикой звука является уровень громкости, который выражается в фонах (фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует ≈90 фон, а шепот на расстоянии 1м — ≈20 фон.

Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром, который может быть сплошным (в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутствуют колебания отделенных друг от друга определенных частот).

Звук характеризуется помимо громкости еще высотой и тембром. Высота звука — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится выше. Характер акустического спектра и распределения энергии между частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемое тембром звука.

Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустический спектр, т. е. их голоса имеют различный тембр.

Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента).

Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему частиц среды с такой же частотой. Состояние колебательного движения последовательно передается к все более удаленным от тела частицам среды, т. е. в среде распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле

(20)

где— отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме; R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; М — молярная масса.

Из формулы (20) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от давления р газа, но возрастает с повышением температуры. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при Т = = 273 К скорость звука в воздухе (М = = 29 • 10^-3 кг/моль) v = 331 м/с, в водороде (М= 2 • 10^-3 кг/моль) v = 1260 м/с. Выражение (20) соответствует опытным данным.

При распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целый ряд факторов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на границе двух сред. Кроме того, любая реальная среда обладает вязкостью, поэтому наблюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следовательно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необратимым переходом звуковой энергии в другие формы энергии (в основном в тепловую).

Для акустики помещений большое значение имеет реверберация звука — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выключения его источника. Если помещения пустые, то происходит медленное затухание звука и создается «гулкость» помещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглощающих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время реверберации — это время, в течение которого интенсивность звука в помещении ослабляется в миллион раз, а его уровень — на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации составляет 0,5 — 1,5 с.

5. Ультразвук и его применение

По своей природе ультразвук представляет собой упругие волны, и в этом он не отличается от звука. Однако ультразвук, обладая высокими частотами (v > 20 кГц) и, следовательно, малыми длинами волн, характеризуется особыми свойствами, что позволяет выделить его в отдельный класс явлений. Из-за малых длин волн ультразвуковые волны, как и свет, могут быть получены в виде строго направленных пучков.

Для генерации ультразвука используются в основном два явления.

Обратный пьезоэлектрический эффект — это возникновение деформации в вырезанной определенным образом кварцевой пластинке (в последнее время вместо кварца применяется титанат бария) под действием электрического поля. Если такую пластинку поместить в высокочастотное переменное поле, то можно вызвать ее вынужденные колебания. При резонансе на собственной частоте пластинки получают большие амплитуды колебаний и, следовательно, большие интенсивности излучаемой ультразвуковой волны. Идея кварцевого ультразвукового генератора принадлежит французскому физику П. Ланжевену (1872 —1946).

Магнитострикция — это возникновение деформации в ферромагнетиках под действием магнитного поля. Поместив ферромагнитный стержень (например, из никеля или железа) в быстропеременное магнитное поле, возбуждают его механические колебания, амплитуда которых максимальна в случае резонанса.

Ультразвуки широко используются в технике, например для направленной подводной сигнализации, обнаружения подводных предметов и определения глубин (гидролокатор, эхолот). Например, в эхолоте от пьезокварцевого генератора, укрепленного на судне, посылаются направленные ультразвуковые сигналы, которые, достигнув дна, отражаются от него и возвращаются обратно. Зная скорость их распространения в воде и определяя время прохождения (от подачи до возвращения) ультразвукового сигнала, можно вычислить глубину. Прием эха также производится с помощью пьезокварца. Звуковые колебания, дойдя до пьезокварца, вызывают в нем упругие колебания, в результате чего на противоположных поверхностях кварца возникают электрические заряды, которые измеряются.

Если пропускать ультразвуковой сигнал через исследуемую деталь, то можно обнаружить в ней дефекты по характерному рассеянию пучка и по появлению ультразвуковой тени. На этом принципе создана целая отрасль техники — ультразвуковая дефектоскопия, начало которой положено С. Я. Соколовым (1897—1957). Применение ультразвука легло также в основу новой области акустики — акустоэлектроники, позволяющей на ее основе разрабатывать приборы для обработки сигнальной информации в микрорадиоэлектронике.

Ультразвук применяют для воздействия на различные процессы (кристаллизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т.д.) и биологические объекты (повышение интенсивности процессов обмена и т.д.), для изучения физических свойств веществ (поглощения, структуры вещества и т.д.). Ультразвук используется также для механической обработки очень твердых и очень хрупких тел, в медицине (диагностика, ультразвуковая хирургия, микромассаж тканей) и т. д.

6. Электромагнитные волны

Существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью,— вытекает из уравнений Максвелла, сформулированных в 1865 г. на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений.

Рис. 7

Электромагнитное поле распространяется в виде поперечной электромагнитной волны (рис. 7), состоящей из двух совпадающих по фазе волн — электрической (т. е. волны напряженности электрического поля) и магнитной (т. е. волны напряженности магнитного поля), перемещающихся в пространстве со скоростью

,

где ε и μ — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Распространение электромагнитного поля сопровождается переносом электромагнитной энергии.

Длина λ, период Т, частота ν и скорость и распространения электромагнитной волны связаны между собой очевидным соотношением

λ = и T = и / v. (1)

Чем чаще следуют друг за другом максимумы электромагнитного поля, т. е. чем больше частота электромагнитной волны, тем большая энергия переносится этой волной. Расчеты показывают, что интенсивность электромагнитной волны, или, что то же, плотность потока электромагнитной энергии, пропорциональна (при одинаковых прочих условиях) квадрату частоты волны.

Источниками электромагнитного поля, или, как говорят, источниками электромагнитного излучения, служат всевозможные переменные токи: переменный ток в проводниках, колебательное движение ионов, электронов и других заряженных частиц, вращение электронов в атоме вокруг ядра и т. п.

Поэтому источником интенсивных электромагнитных волн, способных переносить электромагнитную энергию на значительное расстояние, должен быть переменный ток частоты порядка миллиона герц. Переменные токи столь высокой частоты принято называть электрическими колебаниями. В качестве генератора электрических колебаний и источника электромагнитных волн высокой частоты применяется колебательный контур.

Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки самоиндукции (рис. 8, а).

Рис. 8

Для возбуждения в контуре электрических колебаний необходимо предварительно зарядить конденсатор. Тогда в начальный момент времени t₀ контур будет обладать энергией, сосредоточенной в электрическом поле конденсатора. Напряженность этого поля будет максимальной (Е = Е_max). В последующий момент конденсатор начнет разряжаться. В контуре появится возрастающий со временем ток I, а в катушке самоиндукции возникает магнитное поле напряженностью Н. По мере разрядки конденсатора его электрическое поле ослабевает, а магнитное поле катушки усиливается. В момент времени t₁ конденсатор полностью разрядится. При этом напряженность электрического поля конденсатора станет равна нулю (Е = 0), а напряженность магнитного поля катушки достигнет максимального значения (Н = Н_max); максимальной станет также и сила тока (I = I_max). Теперь вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки. В последующий момент времени магнитное поле катушки начнет ослабевать, в связи с чем в ней индуцируется ток, идущий (согласно правилу Ленца) в том же, направлении, в котором шел ток разрядки конденсатора. Благодаря этому конденсатор перезаряжается.

В момент времени t₂ конденсатор полностью перезарядится; напряженность поля в нем опять достигнет максимального значения, но будет иметь противоположное направление (Е = — Е_max); ток в контуре прекратится (I = 0); напряженность магнитного поля катушки станет равна нулю (Н = 0). Таким образом, энергия контура вновь окажется сосредоточенной в электрическом поле конденсатора. Затем начнется разрядка конденсатора в обратном направлении. В контуре появится ток, а в катушке возникнет магнитное поле. Очевидно, что направления тока и магнитного поля противоположны предыдущим их направлениям.

В момент времени t₃ конденсатор полностью разрядится. Электрическое поле конденсатора ликвидируется (Е = 0), а магнитное поле катушки возрастет (в противоположном направлении) до максимального значения (Н = — Н_max). При этом энергия контура сосредоточится в магнитном поле катушки. В последующий момент времени магнитное поле катушки начнет ослабевать и индукционный ток, препятствующий этому ослаблению, перезарядит конденсатор.

В результате к моменту времени t = Т система (контур) возвращается в исходное состояние и начинается повторение рассмотренного процесса.

Таким образом, в контуре возникают электрические колебания с периодом Т; в течение первой половины периода ток идет в одном направлении, в течение второй половины периода — в противоположном направлении.

На рис. 8, а представлен закрытый колебательный контур.

Излучающая способность источника определяется его формой, размерами и частотой колебаний. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо увеличить объем пространства, в котором переменное электромагнитное поле создается. Поэтому для получения электромагнитных волн непригодны закрытые колебательные контуры, так как в них электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное — внутри катушки индуктивности.

Герц в своих опытах, раздвигая пластины конденсатора (рис. 8, б), совершил переход от закрытого колебательного контура к открытому колебательному контуру (вибратору Герца), представляющему собой два стержня, разделенных искровым промежутком (рис. 8, в). В открытом колебательном контуре переменное электрическое поле заполняет окружающее контур пространство, что существенно повышает интенсивность электромагнитного излучения. Колебания в такой системе поддерживаются за счет источника э. д. с, подключенного к обкладкам конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить разность потенциалов, до которой первоначально заряжаются обкладки.

Недостатком вибраторов Герца являлось то, что свободные колебания в них быстро затухали и обладали малой мощностью. Для получения незатухающих колебаний необходимо создать автоколебательную систему, которая обеспечивала бы подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура. Поэтому в 20-х годах нашего столетия перешли к генерированию электромагнитных волн с помощью электронных ламп. Ламповые генераторы позволяют получать колебания заданной (практически любой) мощности и синусоидальной формы.

Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (или длин волн λ = c/v, где с — скорость электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их генерации и регистрации, а также по своим свойствам. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и γ-излучения (табл.). Следует отметить, что границы между различными видами электромагнитных волн довольно условны.

Вид излучения	Длина волны, м	Частота волны, Гц	Источник излучения
Радиоволны Световые волны: инфракрасные видимые ультрафиолетовые Рентгеновское излучение γ-Излучение	10^3−10^-4 5·10^-4−8·10^-7 8·10^-7−4·10^-7 4·10^-7−10^-9 2·10^-9−6·10^-12 < 6·10^-12	3·10^5−3·10^12 6·10^11−3,75·10^14 3,75·10^14−7,5·10^14 7,5·10^14−3·10^17 1,5·10^17−5·10^19 > 5·10^19	Колебательный контур Вибратор Герца Массовый излучатель Ламповый генератор Лампы Лазеры Трубки Рентгена Радиоактивный распад Ядерные процессы Космические процессы

Геометрическая оптика

Лекция 15

Цель: Основные законы геометрической оптики. Полное отражение. Световоды. Тонкие линзы, изображение предметов с помощью линз. Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых волн. Интерференция света в тонких пленках. Интерферометры. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Дифракционная решетка. Дифракция на кристаллах. Понятие о голографии.

План:

1. Природа света. Основные законы оптики
2. Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз
3. Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых волн
4. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля
5. Метод зон Френеля. Дифракционные спектры. Дифракционная решетка. Дифракция на кристаллах

Вопросы для самостоятельного изучения:

1. Основные фотометрические величины и их единицы

2. Понятие о голографии

1. Природа света. Основные законы оптики

Оптика – раздел физики, в котором изучаются природа света, закономерности световых явлений и процессы взаимодействия света с веществом.

По современным воззрениям, свет — сложный электромагнитный процесс, обладающий как волновыми, так и корпускулярными свойствами. В некоторых явлениях (интерференция, дифракция, поляризация света) обнаруживаются волновые свойства света; эти явления описываются волновой теорией. В других явлениях (фотоэффект, люминесценция, атомные и молекулярные спектры) обнаруживаются корпускулярные свойства света; такие явления описываются квантовой теорией.

При описании волновых свойств света пользуются принципом Гюйгенса — Френеля и общими понятиями и характеристиками волнового процесса (такими, как фронт световой волны, когерентные источники света, световой луч, частота света, длина световой волны и т. д.).

Опыт и теория показывают, что в различных прозрачных средах свет распространяется с различными скоростями, меньшими скорости света в вакууме.

Среда, во всех точках которой скорость распространения света одинакова, называется оптически однородной.

Еще до установления природы света были известны следующие основные законы оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически однородной среде; закон независимости световых пучков (справедлив только в линейной оптике); закон отражения света; закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.

Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстояния до него).

Закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены.

Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.

Рис. 1

Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных веществ), то падающий луч I (рис. 1) разделяется на два — отраженный II и преломленный III, направления которых задаются законами отражения и преломления.

Закон отражения: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол i₁´ отражения равен углу i₁ падения:

i₁´ = i_1.

Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:

sin i₁ / sin i₂ = n₂₁, (1)

где n₂₁ — относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Индексы в обозначениях углов i₁, i₁´, i₂ указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч.

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:

n₂₁ = n₂ / n₁ . (2)

Абсолютным показателем преломления среды называется величина п, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости v в среде:

n = c/v. (3), где

Рис. 2

Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления п₁ (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n₂ (оптически менее плотную) (n₁ > n₂), например из стекла в воду, то, согласно (1) и (2),

> 1

и преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления i₂ больше, чем угол падения i₁ (рис. 2, а). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (рис. 2, б, в).

При некотором угле падения (i₁ = i_пр) угол преломления окажется равным π/2. Угол i_пр называется предельным углом. При углах падения i₁ > i_пр весь падающий свет полностью отражается (n₂ ≤ n₁) (рис. 2, г). Следовательно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.

Явление полного отражения используется в призмах полного отражения, применяемых в оптических приборах (например, в биноклях, перископах), а также в рефрактометрах, позволяющих определять показатели преломления тел (по закону преломления, измеряя i_пр, определяем относительный показатель преломления двух сред, а также абсолютный показатель преломления одной из сред, если показатель преломления второй среды известен); в световодах (светопроводах), представляющих собой тонкие, произвольным образом изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала.

2. Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз

Раздел оптики, в котором законы распространения света рассматриваются на основе представления о световых лучах, называется геометрической оптикой. Под световыми лучами понимаются нормальные к волновым поверхностям линии, вдоль которых распространяется поток световой энергии. Геометрическая оптика, оставаясь приближенным методом построения изображений в оптических системах, позволяет разобрать основные явления, связанные с прохождением через них света, и является поэтому основой теории оптических приборов.

Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями (одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая, а вторая — сферическая или плоская), преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов. Материалом для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмассы и т. п.

Рис. 3

По внешней форме (рис. 3) линзы делятся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие.

Линза называется тонкой, если ее толщина (расстояние между ограничивающими поверхностями) значительно меньше по сравнению с радиусами поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью. Для всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь нее не преломляясь. Для простоты оптический центр О линзы будем считать совпадающим с геометрическим центром средней части линзы (это справедливо только для двояковыпуклой и двояковогнутой линз с одинаковыми радиусами кривизны обеих поверхностей; для плосковыпуклых и плосковогнутых линз оптический центр О лежит на пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью).

Рис. 4

Для вывода формулы тонкой линзы — соотношения, связывающего радиусы кривизны R₁ и R₂ поверхностей линзы с расстояниями а и b от линзы до предмета и его изображения,— воспользуемся принципом Ферма, или принципом наименьшего времени: действительный путь распространения света (траектория светового луча) есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками.

Для вывода формулы тонкой линзы, рассматривают две траектории светового луча (рис. 4) — прямую, соединяющую точки А и В (луч АОВ), и траекторию, проходящую через край линзы (луч АСВ),— воспользовавшись условием равенства времени прохождения света по этим траекториям.

Выражение

(1)

представляет собой формулу тонкой линзы.

Где N = n / n₁ — относительный показатель преломления (п и п₁ — соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды).

Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы считается положительным, вогнутой — отрицательным.

Рис. 5

Если а= ∞, т. е. лучи падают на линзу параллельным пучком (рис. 5, а), то согласно (1)

.

Соответствующее этому случаю расстояние b = OF = f называется фокусным расстоянием линзы:

.

Оно зависит от относительного показателя преломления и радиусов кривизны.

Если b = ∞, т.е. изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи выходят из линзы параллельным пучком (рис. 5, б), то а = OF = f. Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы. Фокус — это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Величина

(2)

называется оптической силой линзы. Ее единица — диоптрия (дптр). Диоптрия — оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м: 1дптр = 1/м.

Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, с отрицательной — рассеивающими. Плоскости, проходящие через фокусы линзы перпендикулярно ее главной оптической оси, называются фокальными плоскостями. В отличие от собирающей рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси (рис. 6).

Рис. 6

Учитывая (2), формулу линзы (1) можно записать в виде

.

Для рассеивающей линзы расстояния f и b надо считать отрицательными.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы.

Комбинации собирающих и рассеивающих линз применяются в оптических приборах, используемых для решения различных научных и технических задач.

Рассматривая прохождение света через тонкие линзы, мы ограничивались параксиальными (приосевыми) лучами, т. е. лучами, образующими с оптической осью малые углы. Показатель преломления материала линзы считали не зависящим от длины волны падающего света, а падающий свет — монохроматическим. Так как в реальных оптических системах эти условия не выполняются, то в них возникают искажения изображения, называемые аберрациями (или погрешностями).

Различают сферические аберрации, кому, дисторсии, хроматическую абберацию, астигматизм.

3. Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых волн

Волновая теория основывается на принципе Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, т.е. согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Так как ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны. Поэтому на опыте не наблюдается интерференция света от независимых источников, например от двух электрических лампочек.

Так для получения когерентных источников прибегают к искусственному приему: «раздваивают» свет, исходящий от одного источника.

Рис. 1

Это «раздвоение» можно осуществить, например, посредством экрана с двумя малыми отверстиями (рис. 1). В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля источник света S создает в отверстиях экрана вторичные источники света S₁ и S₂. Очевидно, что всякое изменение фазы волн, излучаемых основным источником S, сопровождается точно такими же изменениями фаз волн, излучаемых вторичными источниками S₁ и S₂. Следовательно, у волн, излучаемых источниками S₁ и S₂, разность фаз все время остается неизменной, т. е. источники являются когерентными.

Рис. 2

Другой способ получения когерентных источников основан на отражении света от двух плоских зеркал, установленных под углом α, близким к 180° (рис. 2). Эта оптическая система называется зеркалами Френеля. Когерентными источниками служат изображения S₁ и S₂ основного источника света S.

При этом результат интерференции двух волн в некоторой точке Р зависит от разности хода лучей (волн). Если в разности хода лучей Δl = |S₁P| — |S₂P| укладывается целое число длин волн (четное число полуволн), т. е. если

Δl = nλ = 2n, (1)

то в точке Р будет максимум света (λ — длина волны, n = 0,1,2,3,...). Следовательно, (1) является условием интерференционного максимума.

Если же в разности хода укладывается нечетное число полуволн, т.е.

Δl = (2n + 1), (2)

то в точке Р будет минимум света (темнота). Следовательно, (2) является условием интерференционного минимума.

Таким образом, интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками света, представляет собой чередование светлых и темных полос (рис. 3). Особенно четкой эта картина получается в случае, когда вместо точечных источников света используются узкие параллельные светящиеся щели.

Рис. 3

Интерференционная картина очень чувствительна к разности хода (интерферирующих волн: ничтожно малое изменение разности хода вызывает заметное смещение интерференционных полос. На этом основано устройство интерферометров — приборов, служащих для точного измерения малых длин (в частности, длин световых волн) и углов, а также для определения показателя преломления прозрачных сред. В промышленности интерферометр широко используется для контроля качества (гладкости) металлических и других шлифованных поверхностей.

В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленки на металлах), возникающие в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки.

Таким образом, явление интерференции обусловлено волновой природой света; его количественные закономерности зависят от длины волны λ. Поэтому это явление применяется для подтверждения волновой природы света и для измерения длин волн (интерференционная спектроскопия). Применяется также для улучшения качества оптических приборов (просветление оптики) и получения высокоотражающих покрытий.

4. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля

Границу тени можно найти геометрическим путем, полагая, что свет распространяется прямолинейно, т. е. световые лучи являются прямыми линиями. Однако более тщательное наблюдение показывает, что граница тени не является резкой; это особенно заметно в случаях, когда размер отверстия очень мал по сравнению с расстоянием от экрана до отверстия.

а б Рис. 1

Тогда пятно на экране А представляется состоящим из чередующихся светлых и темных колец, постепенно переходящих друг в друга и захватывающих также область геометрической тени (рис. 1, а). Это говорит о непрямолинейности распространения света от источника S, о загибании световых лучей (волн) у краев отверстия В (рис. 1, б).

Явление непрямолинейности распространения света вблизи преграды (огибание световым лучом преграды) называется дифракцией света, а получающаяся на экране картина — дифракционной.

При использовании белого света дифракционная картина приобретает радужную окраску.

Дифракция свойственна не только световым, но и вообще всяким волнам. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т.е. звуковая волна его огибает.

Кроме отверстий в экранах дифракцию вызывают также и непрозрачные предметы (преграды), помещенные на пути распространения света, необходимо только, чтобы размер предмета был малым по сравнению с расстоянием до места наблюдения дифракционной картины. Отчетливые дифракционные картины получаются в случае, когда на пути распространения света находятся очень мелкие преграды размером порядка длины световой волны.

Дифракционные картины нередко возникают в естественных условиях. Так, например, цветные кольца, окружающие источник света, наблюдаемые сквозь туман или через запотевшее оконное стекло, обусловлены дифракцией света на мельчайших водяных каплях.

Рис. 2

Дифракция обнаруживает волновые свойства света и потому может быть объяснена следующим образом. Пусть свет от источника S падает на экран А через круглое отверстие ab в экране В (рис. 2).

Напомним, каждая точка участка ab фронта световой волны (заполняющего отверстие) является вторичным источником света [принцип Гюйгенса — Френеля].

Эти источники когерентны, поэтому исходящие от них лучи (волны) 1 и 2, 3 и 4 и т. д. будут интерферировать между собой. В зависимости от разности хода лучей на экране А в точках с, d и т. д. возникнут максимумы и минимумы освещенности. Таким образом, на экране А в области геометрической тени появятся светлые места, а вне этой области — темные места, создавая кольцеобразную дифракционную картину.

Дифракцией света обусловлена разрешающая способность оптических приборов, т. е. способность этих приборов давать раздельные изображения мелких, близко расположенных друг к другу деталей (точек) предмета. Объектив всякого оптического прибора обязательно имеет входное отверстие. Дифракция света на входном отверстии объектива неизбежно ведет к тому, что изображения отдельных точек наблюдаемого предмета (самосветящегося или освещаемого) оказываются уже не точками, а светлыми дисками, окаймленными темными и светлыми кольцами. Если рассматриваемые точки (детали) предмета находятся близко друг от друга, то их дифракционные изображения (в фокальной плоскости объектива) могут более или менее взаимно перекрываться.

Наименьшее расстояние, при котором две точки предмета еще можно видеть раздельно, называют разрешаемым расстоянием. Разрешающую способность оптического прибора принято измерять величиной, обратной разрешаемому расстоянию.

Расчеты показывают, что для микроскопа разрешаемое расстояние равно приблизительно половине длины световой волны, т.е. ≈ 0,3 мкм. Разрешающая способность ставит предел полезному увеличению микроскопа. При увеличении порядка 10³ разрешаемому расстоянию (0,3 мкм) соответствует достаточно крупное изображение (0,3 мм). Очевидно, что добиваться большего увеличения (т. е. более крупного изображения) не имеет смысла, так как оно не выявит никаких новых подробностей в структуре рассматриваемого предмета.

5. Метод зон Френеля. Дифракционные спектры. Дифракционная решетка. Дифракция на кристаллах

В лабораторной практике дифракционную картину получают обычно от узких светящихся щелей. Поэтому случаи дифракции света от одной, от двух и от многих параллельных щелей мы рассмотрим более подробно.

Рис. 1

Пусть на экран В с узкой прямоугольной щелью падает пучок параллельных монохроматических лучей нормально к экрану (рис. 1, а). Все лучи, проходящие через щель в первоначальном направлении, собираются линзой С в одну точку 0 экрана А, расположенного в фокальной плоскости линзы (точнее говоря, лучи собираются в одну линию, проходящую через 0 параллельно щели). Разность хода между всеми этими лучами равна нулю, так как линза не создает разности хода лучей*. Следовательно, через точку 0 пройдет светлая полоса (максимум освещенности), параллельная щели.

Учтем теперь, что благодаря дифракции лучи от щели пойдут не только в первоначальном направлении, но и под различными углами φ к этому направлению (φ называется углом дифракции). Рассмотрим пучок лучей, дифрагирующих от щели под таким углом φ = φ₁, что разность хода Δl между крайними лучами пучка будет равна длине световой волны Δl = 2λ/2 (рис. 1, б). Тогда весь пучок можно разделить на такие две равные зоны I и II, называемые зонами Френеля, для которых разность хода между каждым лучом первой зоны и соответствующим лучом второй зоны окажется равной λ/2. Лучи, собранные линзой на линии, проходящей через точку 0₁, проинтерферируют и взаимно погасятся. В результате через 0₁ пройдет темная полоса — дифракционный минимум. Очевидно, что такой же дифракционный минимум пройдет через точку 0₁´, симметричную точке 0₁ (ход лучей, образующих этот минимум, на рисунке не показан).

Рассмотрим другой пучок лучей, дифрагирующих под таким углом φ = φ₂, что разность хода Δl между крайними лучами пучка равна 3λ/2 (рис. 1, в). Тогда весь пучок можно разделить на три зоны Френеля: I, II и III. Понятно, что две соседние зоны (например, I и II) погасят друг друга (так как разность хода между лучами этих зон равна λ/2), а третья зона останется непогашенной и даст дифракционный максимум на линии, проходящей через точку 0₂. Такой же максимум появится на линии, проходящей через точку 0₂', симметричную 0₂. Освещенность максимумов 0₂ и 0₂' будет значительно меньше освещенности максимума 0, поскольку в 0 попадает весь световой пучок, проходящий через щель, тогда как в 0₂ и 0'₂ попадает только по 1/3 такого пучка.

Рис. 2

Путем аналогичных рассуждений нетрудно показать, что за максимумами 0₂ и 0₂' расположатся минимумы, создаваемые лучами, дифрагирующими под углом, при котором пучок лучей можно разделить на четыре зоны Френеля (Δl = 4λ/2). Далее расположатся максимумы, создаваемые лучами, дифрагирующими под углом, соответствующим пяти зонам Френеля (Δl = 5λ/2). В эти максимумы попадает уже по 1/5 всего пучка, проходящего через щель, поэтому их освещенность будет меньше освещенности максимумов 0₂ и 0₂'.

Распределение интенсивности на экране, приведенное на рис. 2 и получаемое вследствие дифракции называется дифракционным спектром.

Переходя к обобщению, можно сказать, что пучки лучей, дифрагирующих под углами, соответствующими нечетному числу зон Френеля, создают на экране дифракционные максимумы, а пучки лучей, дифрагирующих под углами, соответствующими четному числу зон Френеля, создают дифракционные минимумы. Освещенность максимумов уменьшается при увеличении угла дифракции лучей, создающих эти максимумы.

Таким образом, дифракционная картина, получаемая от одной щели, представляет собой чередование темных и светлых полос, симметрично расположенных по обе стороны от центральной светлой полосы. Освещенность светлых полос быстро убывает по мере удаления от центральной полосы. Эта дифракционная картина представлена на рис. 2.

Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку — систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина d= a + b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т. е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.

Чем больше щелей N, тем большее количество световой энергии пройдет через решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами, тем, следовательно, более интенсивными и более острыми будут максимумы. На рис. 3 качественно представлена дифракционная картина от восьми щелей.

рис. 3

Положение главных максимумов зависит от длины волны λ. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.

Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения. Кристаллы, являясь трехмерными пространственными решетками, имеют постоянную порядка 10^{-10 м и, следовательно, непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете (λ ≈ 5·10-7 м). Эти факты позволили прийти к выводу, что в качестве естественных дифракционных решеток для рентгеновского излучения можно использовать кристаллы, поскольку расстояние между атомами в кристаллах одного порядка с λ рентгеновского излучения (≈10-12}÷10^{-8 м).}

Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решетки предложен независимо друг от друга советским физиком Г. В. Вульфом (1863—1925) и английскими физиками Г. и Л. Брэггами (отец (1862—1942) и сын (1890—1971)). Они предположили, что дифракция рентгеновских лучей является результатом их отражения от системы параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки).

Рис. 4

Представим кристаллы в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей (рис. 4), отстоящих друг от друга на расстоянии d. Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (1, 2) падает под углом скольжения θ (угол между направлением падающих лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1'и 2', интерферирующих между собой, подобно вторичным волнам, от щелей дифракционной решетки. Максимумы интенсивности (дифракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Вульфа — Брэггов

2d sinθ = mλ (m = l, 2, 3, ...),

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн λ, наблюдается дифракционный максимум.

Формула Вульфа — Брэггов используется при решении двух важных задач:

1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя θ и т, можно найти межплоскостное расстояние (d), т. е. определить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа. Формула Вульфа — Брэггов остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электронов и нейтронов, называются соответственно электронографией и нейтронографией.

2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волны на кристаллической структуре при известном d и измеряя θ и т, можно найти длину волны падающего рентгеновского излучения. Этот метод лежит в основе рентгеновской спектроскопии.

Самостоятельно

1. Основные фотометрические величины и их единицы

Фотометрия — раздел оптики, занимающийся вопросами измерения интенсивности света и его источников.

Для количественной оценки источников света и светового излучения введены фотометрические величины и единицы их измерения.

В фотометрии используются следующие величины:

1) энергетические — характеризуют энергетические параметры оптического излучения безотносительно к его действию на приемники излучения;

2) световые — характеризуют физиологические действия света и оцениваются по воздействию на глаз (исходят из так называемой средней чувствительности глаза) или другие приемники излучения.

Мощность излучения (поток излучения) есть количество энергии, излучаемой светящимся телом в единицу времени.

N_e = W / t.

Единица мощности (потока излучения) — ватт (Вт).

Световым потоком (Ф) называется количество световой энергии, оцениваемое по зрительному ощущению глаза, которое переносится через какую-либо площадку S за единицу времени.

Силой света источника называется величина, измеряемая отношением светового потока Ф к величине телесного угла ω, в котором этот поток распространяется:

(4)

В качестве единицы силы света принята кандела (кд).

Согласно формуле (4),

Ф = Iω, (5)

откуда следует, что единицей светового потока является люмен (лм).

1 лм — световой поток, испускаемый точечным источником в телесном угле 1 ср (стерадиан = 4π) при силе света 1 кд.

Освещенностью называется величина, измеряемая отношением светового потока Ф, падающего на какую-либо поверхность, к величине площади этой поверхности S.

. (6)

За единицу освещенности принимается люкс (лк).

1 лк — освещенность поверхности площадью 1 м² при световом потоке, падающего на нее излучения, равном 1 лм: лк = лм/м².

Яркость источника — это отношение силы света I источника к площади видимой поверхности S₀:

В = I / S₀ (7)

Единицей яркости является кандела на квадратный метр (кд/м²).

Точечным источником света называется источник, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до места наблюдения и который посылает световой поток равномерно во все стороны.

Первый закон освещенности. Освещенность поверхности лучами, падающими на нее перпендикулярно, прямо пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния от него до освещаемой поверхности (закон Ламберта):

. (8)

Второй закон освещенности. Освещенность поверхности, на которую падает световой поток под углом α, прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей:

E = E₀ cos α,

где E₀ — освещенность поверхности перпендикулярно падающим световым потоком.

Если линейные размеры поверхности малы по сравнению с расстоянием до источника, то освещенность поверхности пропорциональна силе света источника, косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света:

.

Понятие о голографии

Голография (от греч. «полная запись») — особый способ записи и последующего восстановления волнового поля, основанный на регистрации интерференционной картины. Она обязана своим возникновением законам волновой оптики — законам интерференции и дифракции.

Этот принципиально новый способ фиксирования и воспроизведения пространственного изображения предметов изобретен английским физиком Д. Габором (1900—1979) в 1947 г. (Нобелевская премия 1971 г.).

Рассмотрим элементарные основы принципа голографии, т. е. регистрации и восстановления информации о предмете. Для регистрации и восстановления волны необходимо уметь регистрировать и восстанавливать амплитуду и фазу идущей от предмета волны.

Практически эта идея может быть осуществлена с помощью принципиальной схемы, показанной на рис. 1, а. Лазерный пучок делится на две части, причем одна часть отражается зеркалом на фотопластинку (опорная волна), а другая попадает на фотопластинку, отразившись от предмета (предметная волна). Опорная и предметная волны, являясь когерентными и накладываясь друг на друга, образуют на фотопластинке интерференционную картину. После проявления фотопластинки и получается голограмма — зарегистрированная на фотопластинке интерференционная картина, образованная при сложении опорной и предметной волн.

Рис. 1

Для восстановления изображения (рис. 1, б) голограмма помещается в то же самое место, где она находилась до регистрации. Ее освещают опорным пучком того же лазера (вторая часть лазерного пучка перекрывается диафрагмой). В результате дифракции света на интерференционной структуре голограммы восстанавливается копия предметной волны, образующая объемное (со всеми присущими предмету свойствами) мнимое изображение предмета, расположенное в том месте, где предмет находился при голографировании. Оно кажется настолько реальным, что его хочется потрогать. Кроме того, восстанавливается еще действительное изображение предмета, имеющее рельеф, обратный рельефу предмета, т.е. выпуклые места заменены вогнутыми, и наоборот (если наблюдение ведется справа от голограммы).

Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зрительному восприятию создает полную иллюзию существования реального предмета. Рассматривая из разных положений объемное изображение предмета, даваемое голограммой, можно увидеть более удаленные предметы, закрытые более близкими из них (заглянуть за ближние предметы). Это объясняется тем, что, поворачивая голову в сторону, мы воспринимаем изображение, восстановленное от периферической части голограммы, на которую при экспонировании падали также и лучи, отраженные от скрытых предметов.

Голограмму можно расколоть на несколько кусков. Но даже малая часть голограммы восстанавливает полное изображение. Однако уменьшение размеров голограммы приводит к ухудшению четкости получаемого изображения. Это объясняется тем, что голограмма для опорного пучка служит дифракционной решеткой, а при уменьшении числа штрихов дифракционной решетки (при уменьшении размеров голограммы) ее разрешающая способность уменьшается.

Методы голографии (запись голограммы в трехмерных средах, цветное и панорамное голографирование и т. д.) находят все большее развитие. Применения голографии разнообразны, но наиболее важные, приобретающие все большее значение, являются запись и хранение информации.

Методы голографии позволяют записывать в сотни раз больше страниц печатного текста, чем методы обычной микрофотографии. По подсчетам, на фотопластинку размером 32×32 мм можно записать 1024 голограммы (площадь каждой из них 1 мм²), т. е. на одной фотопластинке можно «разместить» книгу объемом свыше тысячи страниц. В качестве будущих разработок могут служить ЭВМ с голографической памятью, голографический электронный микроскоп, голографические кино и телевидение, голографическая интерферометрия и т. д.

Взаимодействие света с веществом

Лекция 16

Цель: Дисперсия света. Поглощение света. Поляризация света. Закон Малюса. Двойное лучепреломление. Характеристики теплового излучения. Абсолютно черное тело. Законы теплового излучения. Гипотеза и формула Планка. Оптическая пирометрия. Внешний фотоэффект и его законы. Давление света. Эффект Комптона и его теория. Дуализм свойств электромагнитного излучения.

План:

1. Дисперсия света
2. Поглощение (адсорбция) света. Закон Бугера
3. Поляризация света. Закон Малюса. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление
4. Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Законы теплового излучения
5. Фотоэлектрическое поглощение. Внешний и внутренний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна
6. Масса и импульс фотона. Эффект Комптона. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения

Вопросы для самостоятельного изучения:

1. Двойное лучепреломление. Вращение плоскости поляризации

1. Дисперсия света

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления п вещества от частоты ν (длины волны λ) света или зависимость фазовой скорости v световых волн от его частоты ν. Дисперсия света представляется в виде зависимости

n = f(λ). (1)

Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принадлежат И. Ньютону (1672 г.).

Рис. 1

Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с показателем преломления п (рис. 1) под углом α₁. После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол φ. Из рисунка следует, что

φ = (α₁ – β₁) + (α₂ – β₂) = α₁ + α₂ – А. (2)

Предположим, что углы А и α₁ малы, тогда углы α₂, β₁ и β₂ будут также малы и вместо синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. Поэтому α₁ / β₁ = п, β₂ / α₂ = 1 / п, а так как β₁ + β₂ = А, то

α₂ = β₂· п = п (А – β₁) = п (А – α₁ / п) = пА – α₁,

α₁ + α₂ = пА (3)

Из выражений (3) и (2) следует, что

φ = А (п – 1), (4)

т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.

Из выражения (4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины п – 1, а п — функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки, разлагая свет в спектр, можно определить его спектральный состав.

Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.

1. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам волн, поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения длины волны света надо знать зависимость n = f(λ) (1).

2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. В дифракционной решетке синус угла отклонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя преломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны монотонно уменьшается (рис. 2).

Рис. 2

Следовательно, красные лучи, имеющие меньший показатель преломления, чем фиолетовые, отклоняются призмой слабее.

Величина

,

называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро изменяется показатель преломления с длиной волны. Из рис. 2 следует, что показатель, преломления для прозрачных веществ с уменьшением длины волны монотонно увеличивается; следовательно, величина по модулю также увеличивается с уменьшением λ. Такая дисперсия называется нормальной.

На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов.

2. Поглощение (абсорбция) света. Закон Бугера

Поглощением (абсорбцией) света называется явление потери энергии световой волной, проходящей через вещество, вследствие преобразования энергии волны в другие формы (внутреннюю энергию вещества и в энергию вторичного излучения других направлений и спектрального состава). В результате поглощения интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

Поглощение света в веществе описывается законом Бугера (французский ученый):

, (5)

где I₀ и I — интенсивности плоской монохроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, α — коэффициент поглощения, зависящий от длины волны света, химической природы и состояния вещества и не зависящий от интенсивности света.

Коэффициент поглощения зависит от длины волны λ (или частоты ω) и для различных веществ различен. Например, одноатомные газы и пары металлов (т. е. вещества, в которых атомы расположены на значительных расстояниях друг от друга и их можно считать изолированными) обладают близким к нулю коэффициентом поглощения и лишь для очень узких спектральных областей (примерно 10^-12 — 10^{-11 м) наблюдаются резкие максимумы (так называемый линейчатый спектр поглощения). Эти линии соответствуют частотам собственных колебаний электронов в атомах.}

Коэффициент поглощения для металлов имеет большие значения (примерно 10³—10⁵ см^-1) и поэтому металлы являются непрозрачными для света. В металлах из-за наличия свободных электронов, движущихся под действием электрического поля световой волны, возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением джоулевой теплоты. Поэтому энергия световой волны быстро уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию металла. Чем выше проводимость металла, тем сильнее в нем поглощение света.

Рис. 3

На рис. 3 представлены типичная зависимость коэффициента поглощения α от длины волны света λ и зависимость показателя преломления п от λ в области полосы поглощения. Из рисунка следует, что внутри полосы поглощения наблюдается аномальная дисперсия (п убывает с уменьшением λ). Однако поглощение вещества должно быть значительным, чтобы повлиять на ход показателя преломления.

Зависимостью коэффициента поглощения от длины волны объясняется окрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее красные и оранжевые лучи и сильно поглощающее зеленые и синие, при освещении белым светом будет казаться красным. Если на такое стекло направить зеленый и синий свет, то из-за сильного поглощения света этих длин волн стекло будет казаться черным. Это явление используется для изготовления светофильтров, которые в зависимости от химического состава (стекла с присадками различных солей, пленки из пластмасс, содержащие красители, растворы красителей и т. д.) пропускают свет только определенных длин волн, поглощая остальные. Разнообразие пределов селективного (избирательного) поглощения у различных веществ объясняет разнообразие и богатство цветов и красок, наблюдающееся в окружающем мире.

Явление поглощения широко используется в абсорбционном спектральном анализе смеси газов, основанном на измерениях спектров частот и интенсивностей линий (полос) поглощения. Структура спектров поглощения определяется составом и строением молекул, поэтому изучение спектров поглощения является одним из основных методов количественного и качественного исследования веществ.

3. Поляризация света. Закон Малюса. Закон Брюстера

Следствием теории Максвелла является поперечность световых волн: векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости v распространения волны (перпендикулярно лучу). Поэтому для описания закономерностей поляризации света достаточно знать поведение лишь одного из векторов. Обычно все рассуждения ведутся относительно светового вектора — вектора напряженности Е электрического поля (это название обусловлено тем, что при действии света на вещество основное значение имеет электрическая составляющая поля волны, действующая на электроны в атомах вещества).

Рис. 4

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы же излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому световая волна, излучаемая телом в целом, характеризуется всевозможными равновероятными колебаниями светового вектора (рис. 4, а; луч перпендикулярен плоскости рисунка). Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Е (и, следовательно, Н) называется естественным.

Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом упорядочены, называется поляризованным. Так, если в результате каких-либо внешних воздействий появляется преимущественное (но не исключительное!) направление колебаний вектора Е (рис. 4, б), то имеем дело с частично поляризованным светом. Свет, в котором вектор Е (и, следовательно, Н) колеблется только в одном направлении, перпендикулярном лучу (рис. 4, в), называется плоскополяризованным (линейно поляризованным).

Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектора плоскополяризованной волны и направление распространения этой волны, называется плоскостью поляризации. Плоскополяризованный свет является предельным случаем эллиптически поляризованного света — света, для которого вектор Е (вектор Н) изменяется со временем так, что его конец описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если эллипс поляризации вырождается в прямую (при разности фаз φ, равной нулю или π), то имеем дело с рассмотренным выше плоскополяризованным светом, если в окружность (при φ = ± π/2 и равенстве амплитуд складываемых волн), то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным по кругу) светом.

Степенью поляризации называется величина

,

где I_max и I_min – максимальная и минимальная интенсивности света, соответствующие двум взаимно перпендикулярным компонентам вектора Е. Для естественного света I_max = I_min и Р = 0, для плоскополяризованного I_min = 0 и Р = 1.

Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, используя так называемые поляризаторы, пропускающие колебания только определенного направления. В качестве поляризаторов могут быть использованы среды, анизотропные в отношении колебаний вектора Е, например кристаллы. Из природных кристаллов, давно используемых в качестве поляризатора, следует отметить турмалин.

Рассмотрим классические опыты с турмалином (рис. 5).

Рис. 5

Направим естественный свет перпендикулярно пластинке турмалина Т₁, вырезанной параллельно так называемой оптической оси 00. Вращая кристалл T₁ вокруг направления луча, никаких изменений интенсивности прошедшего через турмалин света не наблюдаем. Если на пути луча поставить вторую пластинку турмалина Т₂ и вращать ее вокруг направления луча, то интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от угла α между оптическими осями кристаллов по закону Малюса (французский физик):

I = I₀ cos²α, (6)

где I₀ и I — соответственно интенсивности света, падающего на второй кристалл и вышедшего из него. Следовательно, интенсивность прошедшего через пластинки света изменяется от минимума (полное гашение света) при α =π/2 (оптические оси пластинок перпендикулярны) до максимума при α = 0 (оптические оси пластинок параллельны).

Рис.6

Однако, как это следует из рис. 6, амплитуда Е световых колебаний, прошедших через пластинку Т₂, будет меньше амплитуды световых колебаний Е₀, падающих на пластинку Т₂:

E = E₀ cos α.

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то и получается выражение (6).

Пластинка T₁ преобразующая естественный свет в плоскополяризован-ный, является поляризатором. Пластинка T₂, служащая для анализа степени поляризации света, называется анализатором. Обе пластинки совершенно одинаковы (их можно поменять местами).

Степень поляризации (степень выделения световых волн с определенной ориентацией электрического (и магнитного) вектора) зависит от угла падения лучей и показателя преломления. Шотландский физик Д. Брюстер (1781 —1868) установил закон, согласно которому при угле падения i_В (угол Брюстера), определяемого соотношением

tg i_В = n₂₁

(n₂₁ — показатель преломления второй среды относительно первой), отраженный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, перпендикулярные плоскости падения) (рис. 7).

Рис. 7

Преломленный же луч при угле падения i_B поляризуется максимально, но не полностью. Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны ( (i₂ — угол преломления), откуда cos i_В = sin i₂). Следовательно, i_В + i₂ = π/2, но i_В = i_В´ (закон отражения), поэтому i_В´ + i₂ = π/2.

Степень поляризации преломленного света может быть значительно повышена (многократным преломлением при условии падения света каждый раз на границу раздела под углом Брюстера). Это достижимо совокупностью пластинок называемых стопой. Стопа может служить для анализа поляризованного света как при его отражении, так и при его преломлении.

4. Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Законы теплового излучения

Тела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым (температурным) излучением. Тепловое излучение, являясь самым распространенным в природе, совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т. е. за счет его внутренней энергии) и свойственно всем телам при температуре выше 0 К. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, при низких — преимущественно длинные (инфракрасные).

Тепловое излучение — практически единственный вид излучения, который может быть равновесным. Предположим, что нагретое (излучающее) тело помещено в полость, ограниченную идеально отражающей оболочкой. С течением времени, в результате непрерывного обмена энергией между телом и излучением, наступит равновесие, т. е. тело в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать.

Воображаемое тело, поглощающее при любой температуре всю падающую на него лучистую энергию, называется абсолютно черным телом.

Поглощательная способность такого тела для всех длин волн одинакова и равна единице (А_λ = А = 1). Для видимой части спектра телом, близким по своим свойствам к абсолютно черному, является сажа (А = 0,95).

Идеальной моделью черного тела является замкнутая полость с небольшим отверстием О, внутренняя поверхность которой зачернена (рис.1). Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего излучения оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что при размере отверстия, меньшего 0,1 диаметра полости, падающее излучение всех частот «полностью поглощается». Вследствие этого открытые окна домов со стороны улицы кажутся черными, хотя внутри комнат достаточно светло из-за отражения света от стен.

Рис. 1

Абсолютно черное тело, поглощая падающую на него лучистую энергию, вместе с тем само излучает. Поэтому при низкой температуре полости отверстие в ней кажется черным; если же полость нагрета до высокой температуры, то отверстие представляется ярко светящимся. Примерами практически абсолютно черных тел могут служить зрачок глаза и смотровое отверстие мартеновской печи.

Выясним теперь, как связаны между собой испускательная и поглощательная способности тела. Представим себе изолированную систему из двух тел, имеющих различную температуру и обменивающихся энергией только путем лучеиспускания и лучепоглощения. Через некоторое время в такой системе установится тепловое равновесие.

Для такой системы справедлив закон Кирхгофа.

Для всех тел при данной температуре отношение испускательной способности к поглощательной способности есть постоянная величина, не зависящая от природы тела; являющаяся для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры, равная испускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре

, (1)

где r – испускательная способность абсолютно черного тела (спектральная плотность энергетической светимости черного тела), называемая универсальной функцией Кирхгофа. R и А, соответственно, полные испускательная и поглощательная способности тела и зависят от природы тела и температуры.

Поглощательная способность всех реальных тел меньше единицы. Так, например, для видимой части спектра поглощательная способность алюминия равна 0,1; меди — 0,5; воды — 0,67.

Основным источником нагревания почвы является, как известно, солнечное излучение. Изменяя поглощательную способность поверхности почвы путем покрытия этой поверхности различными красителями, можно в довольно значительных пределах регулировать температуру теплового равновесия верхнего слоя почвы. Этот прием, широко применяемый в агрономической практике, называют мульчированием. В качестве покрытий, имеющих общее название мульчи, используют молотый мел, торфяной и угольный порошки, битум, нигрозин и т. п.

Очевидно, что для увеличения поглощательной способности почвы (и, следовательно, для повышения температуры почвы) надо применять темную мульчу, а для уменьшения поглощательной способности почвы (и понижения температуры почвы) — светлую мульчу.

Австрийский физик Й. Стефан (1835 — 1893), анализируя экспериментальные данные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), установили зависимость энергетической светимости R_e черного тела от температуры. Согласно закону Стефана — Больцмана,

(2)

т.е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; σ — постоянная Стефана—Больцмана, ее экспериментальное значение равно 5,67 ∙ 10^-8 Вт/(м²∙К⁴).

Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания:

E₀ = hν = hc/λ, (3)

где h = 6,625·10^-34 Дж·с – постоянная Планка.

Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора Е может принимать только определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии E₀:

E = nhν (n = 0, 1, 2, …).

Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскаленных и самосветящихся тел (например, звезд). Методы измерения высоких температур, использующие зависимость энергетической светимости или спектральной испускательной способности от температуры, называют оптической пирометрией. Приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называют пирометрами.

5. Фотоэлектрическое поглощение. Внешний и внутренний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна

Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения черного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта — явления, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в твердых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Фотоэффект обнаружен (1887 г.) Г. Герцем, наблюдавшим усиление процесса разряда при облучении искрового промежутка ультрафиолетовым излучением.

Рис. 1

Первые фундаментальные исследования фотоэффекта выполнены русским ученым А.Г.Столетовым. Принципиальная схема для исследования фотоэффекта приведена на рис. 1. Два электрода (катод К из исследуемого металла и анод А — в схеме Столетова применялась металлическая сетка) в вакуумной трубке подключены к батарее так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко), измеряется включенным в цепь миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие закономерности, не утратившие своего значения до нашего времени: 1) наиболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение; 2) под действием света вещество теряет только отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающего под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности.

Внутренний фотоэффект — это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу. В результате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости (повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика при его освещении) или к возникновению э. д. с.

Вентильный фотоэффект возникновение э. д. с. (фото-э. д. с.) при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект открывает, таким образом, пути для прямого преобразования солнечной энергии в электрическую.

На рис. 1 приведена экспериментальная установка для исследования вольт-амперной характеристики фотоэффекта — зависимости фототока I, образуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от напряжения U между электродами.

Такая зависимость, соответствующая двум различным освещенностям Е_е катода (частота света в обоих случаях одинакова), приведена на рис. 2.

Рис. 2

По мере увеличения U фототок постепенно возрастает, т. е. все большее число фотоэлектронов достигает анода. Пологий характер кривых показывает, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Максимальное значение тока I_нас — фототок насыщения — определяется таким значением U, при котором все электроны, испускаемые катодом, достигают анода:

I_нас = en

где n – число электронов, испускаемых катодом в 1 с.

Из вольт-амперной характеристики следует, что при U = 0 фототок не исчезает. Следовательно, электроны, выбитые светом из катода, обладают некоторой начальной скоростью v, а значит, и отличной от нуля кинетической энергией и могут достигнуть анода без внешнего поля. Для того чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение U₀. При U = U₀ ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью v_mах, не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Следовательно,

m v²_mах/2 = eU₀ , (1)

т. е., измерив, задерживающее напряжение U₀, можно определить максимальные значения скорости и кинетической энергии фотоэлектронов.

При изучении вольт-амперных характеристик разнообразных материалов (важна чистота поверхности, поэтому измерения проводятся в вакууме и на свежих поверхностях) при различных частотах падающего на катод излучения и различных энергетических освещенностях катода и обобщения полученных данных были установлены следующие три закона внешнего фотоэффекта.

I. Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности Е_е катода).

II. Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой ν, а именно линейно возрастает с увеличением частоты.

III. Для каждого вещества существует «красная граница» фотоэффекта, т. е. минимальная частота ν₀ света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), при которой свет любой интенсивности фотоэффекта не вызывает.

А. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут быть объяснены на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. Согласно Эйнштейну, свет частотой ν не только испускается, как это предполагал Планк, но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых Е₀ = hν. Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Эти кванты электромагнитного излучения получили название фотонов.

По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально интенсивности света (I закон фотоэффекта). Безынерционность фотоэффекта объясняется тем, что передача энергии при столкновении фотона с электроном происходит почти мгновенно.

Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии mv_max/2.

По закону сохранения энергии,

hv = A + m v²_mах/2. (2)

Уравнение (2) называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

На явлении фотоэффекта основано действие фотоэлектронных приборов, получивших разнообразное применение в различных областях науки и техники. В настоящее время практически невозможно указать отрасли производства, где бы не использовались фотоэлементы — приемники излучения, работающие на основе фотоэффекта и преобразующие энергию излучения в электрическую (используются в производстве для контроля, управления и автоматизации различных процессов, в военной технике для сигнализации и локации невидимым излучением, в технике звукового кино, в различных системах связи и т. д.).

6. Масса и импульс фотона. Эффект Комптона. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения

Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, поглощается и распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Энергия фотона Е₀ = hν. Его масса находится из закона взаимосвязи массы и энергии:

m_γ = hν / c². (1)

Фотон — элементарная частица, которая всегда (в любой среде!) движется со скоростью света с и имеет массу покоя, равную нулю. Следовательно, масса фотона отличается от массы таких элементарных частиц, как электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля массой покоя и могут находиться в состоянии покоя.

Импульс фотона р_γ получим, если в общей формуле теории относительности положим массу покоя фотона m_0γ = 0:

р_γ = Е₀ / с = hν / c. (2)

Из приведенных рассуждений следует, что фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Выражения (1) и (2) связывают корпускулярные характеристики фотона — массу, импульс и энергию — с волновой характеристикой света — его частотой ν.

Если фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. Согласно квантовой теории, давление света на поверхность обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс.

Наиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона.

Эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и γ-излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой длина волны при рассеянии изменяться не должна: под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает рассеянные волны той же частоты.

Объяснение эффекта Комптона дано на основе квантовых представлений о природе света. Если считать, как это делает квантовая теория, что излучение имеет корпускулярную природу, т. е. представляет собой поток фотонов, то эффект Комптона — результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества (для легких атомов электроны слабо связаны с ядрами атомов, поэтому их можно считать свободными). В процессе этого столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и импульса в соответствии с законами их сохранения.

Рассмотренные в этой лекции явления — излучение черного тела, фотоэффект, эффект Комптона — служат доказательством квантовых (корпускулярных) представлений о свете как о потоке фотонов. С другой стороны, такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, убедительно подтверждают волновую (электромагнитную) природу света. Наконец, давление и преломление света объясняются как волновой, так и квантовой теориями. Таким образом, электромагнитное излучение обнаруживает удивительное единство, казалось бы, взаимоисключающих свойств — непрерывных (волны) и дискретных (фотоны), которые взаимно дополняют друг друга.

Самостоятельно:

Двойное лучепреломление. Вращение плоскости поляризации

Все прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической системы, которые оптически изотропны) обладают способностью двойного лучепреломления, т. е. раздваивания каждого падающего на них светового пучка.

Если на толстый кристалл исландского шпата направить узкий, пучок света, то из кристалла выйдут два пространственно разделенных луча, параллельных друг другу и падающему лучу (рис. 1).

Рис. 1 Рис.2

Даже в том случае, когда первичный пучок падает на кристалл нормально, преломленный пучок разделяется на два, причем один из них является продолжением первичного, а второй отклоняется (рис.2). Второй из этих лучей получил название необыкновенного (е), а первый — обыкновенного (о).

В кристалле исландского шпата имеется единственное направление, вдоль которого двойное лучепреломление не наблюдается. Направление в оптически анизотропном кристалле, по которому луч света распространяется, не испытывая двойного лучепреломления, называется оптической осью кристалла. В данном случае речь идет именно о направлении, а не о прямой линии, проходящей через какую-то точку кристалла. Любая прямая, проходящая параллельно данному направлению, является оптической осью кристалла. Кристаллы в зависимости от типа их симметрии бывают одноосные и двуосные, т. е. имеют одну или две оптические оси (к первым и относится исландский шпат).

Плоскость, проходящая через направление луча света и оптическую ось кристалла, называется главной плоскостью (или главным сечением кристалла). Анализ поляризации света (например, с помощью турмалина или стеклянного зеркала) показывает, что вышедшие из кристалла лучи плоско поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях: колебания светового вектора (вектора напряженности Е электрического поля) в обыкновенном луче происходят перпендикулярно главной плоскости, в необыкновенном — в главной плоскости (рис. 2). Неодинаковое преломление обыкновенного и необыкновенного лучей указывает на различие для них показателей преломления.

В основе работы поляризационных приспособлений, служащих для получения поляризованного света, лежит явление двойного лучепреломления. Наиболее часто для этого применяются призмы и поляроиды. Призмы делятся на два класса:

1) призмы, дающие только плоскополяризованный луч (поляризационные призмы);

2) призмы, дающие два поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях луча (двоякопреломляющие призмы).

Поляризационные призмы построены по принципу полного отражения одного из лучей (например, обыкновенного) от границы раздела, в то время как другой луч с другим показателем преломления проходит через эту границу. Типичным представителем поляризационных призм является призма Николя (шотландский ученый), называемая часто николем.

Рис. 3

Призма Николя (рис.3) представляет собой двойную призму из исландского шпата, склеенную вдоль линии АВ канадским бальзамом с n =1,55. Оптическая ось 00' призмы составляет с входной гранью угол 48°. На передней грани призмы естественный луч, параллельный ребру СВ, раздваивается на два луча: обыкновенный (n_о= 1,66) и необыкновенный (n_е=1,51). При соответствующем подборе угла падения, равного или большего предельного, обыкновенный луч испытывает полное отражение (канадский бальзам для него является средой оптически менее плотной), а затем поглощается зачерненной боковой поверхностью СВ. Необыкновенный луч выходит из кристалла параллельно падающему лучу, незначительно смещенному относительно него (ввиду преломления на наклонных гранях АС и BD).

Двоякопреломляющие кристаллы обладают свойством дихроизма, т. е. различного поглощения света в зависимости от ориентации электрического вектора световой волны, и называются дихроичными кристаллами. Примером сильно дихроичного кристалла является турмалин, в котором из-за сильного селективного поглощения обыкновенного луча уже при толщине, пластинки 1 мм из нее выходит только необыкновенный луч. Такое различие в поглощении, зависящее, кроме того, от длины волны, приводит к тому, что при освещении дихроичного кристалла белым светом кристалл по разным направлениям оказывается различно окрашенным.

Дихроичные кристаллы приобрели еще более важное значение в связи с изобретением поляроидов. Примером поляроида может служить тонкая пленка из целлулоида, в которую вкраплены кристаллики герапатита (сернокислого иод-хинина). Поляроиды применяются, например, для защиты от ослепляющего действия солнечных лучей и фар встречного автотранспорта.

Двойное лучепреломление имеет место в естественных анизотропных средах. Существуют, однако, различные способы получения искусственной оптической анизотропии, т. е. сообщения оптической анизотропии естественно изотропным веществам.

Оптически изотропные вещества становятся оптически анизотропными под действием: 1) одностороннего сжатия или растяжения (кристаллы кубической системы, стекла и др.); 2) электрического поля (эффект Керра; жидкости, аморфные тела, газы); 3) магнитного поля (жидкости, стекла, коллоиды). В перечисленных случаях вещество приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением деформации, электрического или магнитного полей соответственно указанным выше воздействиям.

Эффект Керра — оптическая анизотропия веществ под действием электрического поля — объясняется различной поляризуемостью молекул жидкости по разным направлениям.

Вращение плоскости поляризации

Некоторые вещества (например, из твердых тел — кварц, сахар, киноварь, из жидкостей — водный раствор сахара, винная кислота, скипидар), называемые оптически активными, обладают способностью вращать плоскость поляризации.

Рис. 4

Вращение плоскости поляризации можно наблюдать на следующем опыте (рис.4). Если между скрещенными поляризатором Р и анализатором А, дающими темное поле зрения, поместить оптически активное вещество (например, кювету с раствором сахара), то поле зрения анализатора просветляется. При повороте анализатора на некоторый угол φ можно вновь получить темное поле зрения. Угол φ и есть угол, на который оптически активное вещество поворачивает плоскость поляризации света, прошедшего через поляризатор. Так как поворотом анализатора можно получить темное поле зрения, то свет, прошедший через оптически активное вещество, является плоскополяризованным.

Опыт показывает, что угол поворота плоскости поляризации для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей

φ = αd,

для оптически активных растворов

φ = [α]Сd , (1)

где d — расстояние, пройденное светом в оптически активном веществе, α ([α]) — так называемое удельное вращение, численно равное углу поворота плоскости поляризации света слоем оптически активного вещества единичной толщины (единичной концентрации — для растворов), С — массовая концентрация оптически активного вещества в растворе, кг/м³. Удельное вращение зависит от природы вещества, температуры и длины волны света в вакууме.

Опыт показывает, что все вещества, оптически активные в жидком состоянии, обладают таким же свойством и в кристаллическом состоянии. Однако если вещества активны в кристаллическом состоянии, то не всегда активны в жидком (например, расплавленный кварц). Следовательно, оптическая активность обусловливается как строением молекул вещества (их асимметрией), так и особенностями расположения частиц в кристаллической решетке.

Оптически активные вещества в зависимости от направления вращения плоскости поляризации разделяются на право- и левовращающие. В первом случае плоскость поляризации, если смотреть навстречу лучу, вращается вправо (по часовой стрелке), во втором — влево (против часовой стрелки). Вращение плоскости поляризации объяснено О. Френелем (1817 г.). Согласно теории Френеля скорость распространения света в оптически активных веществах различна для лучей, поляризованных по кругу вправо и влево.

Явление вращения плоскости поляризации и, в частности, формула (1) лежат в основе точного, метода определения концентрации растворов оптически активных веществ, называемого поляриметрией (сахариметрией). Для этого используется установка, показанная на рис. 4. По найденному углу поворота плоскости поляризации φ и известному значению [α] из (1) находится концентрация растворенного вещества.

Впоследствии М. Фарадеем обнаружено вращение плоскости поляризации в оптически неактивных телах, возникающее под действием магнитного поля. Это явление получило название эффекта Фарадея (или магнитного вращения плоскости поляризации). Оно имело огромное значение для науки, так как было первым явлением, в котором обнаружилась связь между оптическими и электромагнитными процессами.

Строение и свойства атомных ядер

Лекция 17

Цель: Рассмотреть строение атома. Ознакомиться с постулатами Бора. Изучить дискретность энергетических уровней атомов, спектры испускания и поглощения. Ознакомиться с гипотезой де Бройля, дифракцией электронов. Знать характеристики ядра, нуклоны, ядерные силы

План:

1. Строение атома. Постулаты Бора
2. Дискретность энергетических уровней атомов. Испускание и поглощение
3. Квантовая теория строения многоэлектронных атомов и образование оптических и рентгеновских спектров
4. Строение атомного ядра, нуклоны. Дефект масс

1. Строение атома. Постулаты Бора

К началу XX в. было с полной достоверностью установлено, что в состав каждого атома входят электроны. Вместе с тем было известно, что атом в целом электронейтрален. Отсюда следовало, что отрицательный заряд электронов должен компенсироваться положительным зарядом каких-то других частиц, также входящих в состав атома.

В 1911 г. английский физик Э. Резерфорд предложил ядерную (планетарную) модель строения атома. Согласно этой модели, весь положительный заряд и почти вся масса (> 99,94%) атома сосредоточены в атомном ядре, размер которого ничтожно мал () по сравнению с размером атома ( м). Вокруг ядра по замкнутым (эллиптическим) орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Заряд ядра равен по абсолютному значению суммарному заряду электронов.

Таким образом, атом в целом является чрезвычайно «ажурным» микрообразованием: совокупностью небольшого числа очень малых частиц вещества (ядра и электронов), распределенных в сравнительно большом объеме.

Предположение о вращении электронов вокруг ядра Резерфорд сделал в связи с тем, что, согласно теореме Ирншоу, атом в виде статической системы не может быть устойчивым.

Что касается предположения о наличии в центре атома одного массивного, но весьма малого ядра, то Резерфорд доказал это экспериментально на опытах с рассеянием α-частиц, проходящих через вещество. α-Частицы, испускаемые радиоактивными элементами, движутся со скоростью порядка 10⁴ км/с, имеют положительный заряд, равный двум элементарным зарядам, и массу, в 7350 раз большую массы электрона (рассмотрим далее).

Рис. 1

Схема опытов Резерфорда показана на рис. 1. α-Частицы, испускаемые радиоактивным веществом, двигались в вакууме и, проходя сквозь фольгу F (толщиной около 1 мкм), падали на люминесцирующий экран Q. Удар каждой α-частицы об экран вызывал кратковременную вспышку — сцинтилляцию, наблюдаемую в микроскоп.

Наблюдения показали, что большинство α-частиц проходит сквозь фольгу без заметного отклонения от первоначального направления, некоторые частицы отклоняются на небольшой угол и лишь немногие частицы претерпевают сильное отклонение.

Естественно предположить, что отклонение α-частиц вызвано их взаимодействием («столкновением») с массивными атомными ядрами (рис. 2), поскольку легкие электроны не могут существенно изменить движение сравнительно тяжелых и очень быстрых α -частиц.

Рис. 2

Полагая, что ядро и α-частица взаимодействуют (отталкиваются) по закону Кулона, Резерфорд теоретически рассчитал картину рассеяния α-частиц, получив результат, хорошо согласующийся с опытными данными.

Исследования Резерфорда позволили определить порядок размера ядра (10^-15 м) и его заряд. При этом оказалось, что заряд q ядра, выраженный в элементарных зарядах е, равен порядковому номеру Z химического элемента в периодической системе Менделеева:

q / е = Z

и вместе с тем равен числу электронов в электронной оболочке атома.

Однако резерфордовская модель строения атома не укладывалась в рамки законов классической физики. В самом деле, согласно законам классической электродинамики, электрон, вращаясь вокруг ядра (т. е. двигаясь с ускорением), должен непрерывно излучать электромагнитные волны, частота которых равна частоте вращения электрона. Так как это излучение сопровождается непрерывной потерей энергии, то электрон должен постепенно приближаться к ядру, двигаясь по спирали, и в конце концов упасть на ядро. По мере приближения электрона к ядру частота вращения электрона, а вместе с ней и частота электромагнитного излучения должны непрерывно изменяться. Следовательно, атом должен давать сплошной спектр излучения.

Таким образом, в классической физике атом оказывается неустойчивой (недолговечной) системой, дающей сплошной спектр излучения. Между тем и то и другое противоречит опыту. В действительности атомы представляют собой весьма устойчивые образования, характеризующиеся линейчатым спектром излучения.

Тщательные исследования спектров излучения различных разреженных газов (т. е. спектров излучения атомов) показали, что каждому газу присущ вполне определенный линейчатый спектр. Более того, обнаружилось, что спектральные линии можно распределить по группам (сериям); линии, принадлежащие к одной серии, связаны между собой определенной закономерностью. Так, например, в видимой части спектра излучения водорода И. Я. Бальмер обнаружил серию линий, частота которых выражается эмпирической формулой

, (1)

где п = 3, 4, 5, ...;

R — nocтоянная Ридберга, равная 3,28985·10¹⁵ с^-1.

Линейчатый характер спектров излучения (и поглощения) атомов говорит о том, что атом может излучать (и поглощать) энергию не в любых количествах (отличающихся друг от друга на сколь угодно малую величину), а только вполне определенными порциями — квантами. Отсюда следует, что атом может находиться лишь в определенных (дискретных) энергетических состояниях; переходя из одного состояния в другое, он излучает (или поглощает) квант энергии, равный разности энергий начального и конечного состояний (т. е. до излучения и после него).

Исходя из представления о дискретности энергетических состояний атома, датский физик Н. Бор в 1913 г. усовершенствовал атомную модель Резерфорда, создав квантовую теорию строения атома. В ее основу положены следующие постулаты (постулаты Бора):

1. Электроны могут двигаться в атоме не по любым орбитам, а только по орбитам вполне определенного радиуса. На этих орбитах, называемых стационарными или устойчивыми, момент импульса электрона кратен h/(2π) [условие квантования радиуса орбит]:

mvr = nh/(2π), (2)

где т — масса электрона, v — его скорость; r — радиус орбиты, п — целое число, называемое квантовым (п = 1, 2, 3, ...); h — постоянная Планка.

2. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением (поглощением) энергии.

3. Переход электрона с одной стационарной орбиты на другую сопровождается излучением (или поглощением) кванта энергии. Квант равен разности энергий стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения) [условие частот]:

hν = Е₁ – Е₂. (3)

Таким образом, частота электромагнитных волн, излучаемых атомом, определяется не частотой вращения электронов в атоме, а разностью энергии стационарных состояний атома.

В настоящее время постулатам Бора дается более общая формулировка:

атом устойчив только в состояниях, соответствующих дискретным значениям энергии (Е₁, Е₂, Е₃, ...); переход атома из одного устойчивого состояния в другое сопровождается излучением или поглощением кванта энергии, определяемого условием частот (3).

2. Дискретность энергетических уровней атомов.

Испускание и поглощение

Представление о дискретности энергетических состояний атома, на основе которого Бор сформулировал свои постулаты, вскоре было доказано опытами Д. Франка и Г. Герца.

В атоме водорода вокруг ядра (протона), несущего один элементарный заряд е, движется один электрон. Ядро можно считать неподвижным, поскольку его масса в 1840 раз больше массы электрона; орбиты электрона можно (в первом приближении) полагать круговыми.

Очевидно, что центростремительной силой, удерживающей электрон на орбите радиусом r, является кулоновская сила притяжения между электроном и ядром:

, (4)

где т — масса электрона; v — его скорость; ε₀ = 8,85·10^-12 Ф/м — электрическая постоянная.

Решая совместно уравнения (4) и (2), получаем после простых преобразований выражение радиуса стационарных орбит атома водорода:

, (5)

где квантовое число п имеет значения 1, 2, 3, ... По формуле (5) можно рассчитать радиус любой стационарной орбиты. Так, например, радиус ближайшей к ядру орбиты (п = 1)

r = 0,53·10^{-10 м = 53 пм.}

В правой части уравнения (5) все величины, кроме п, являются постоянными. Следовательно, радиусы стационарных орбит относятся между собой как квадраты чисел натурального ряда, т. е. как 1 : 4 : 9 : 16 и т.д.

Рис. 3

На рис. 3 представлены орбиты атома, рассчитанные по формуле (5); выраженные в пикометрах значения радиуса орбит равны: r₁ = 53; r₂ = 212, r₃ = 477; r₄ = 848; r₅ = 1325 и r₆ = 1908 (орбиты большого радиуса вычерчены неполностью).

Определим теперь полную энергию Е электрона в атоме. Она слагается из кинетической энергии Е_K поступательного движения электрона по орбите () и потенциальной энергии Е_П притяжения электрона к ядру (). Учитывая формулу (4), получим

. (6)

Что касается потенциальной энергии электрона, то она должна быть отрицательна и равна

. (7)

Тогда

E = E_K + E_П = , (8)

т. е. полная энергия электрона оказывается отрицательной и равной по абсолютному значению его кинетической энергии.

Подставляя в формулу (8) выражение радиуса (5), получаем

. (9)

По этой формуле можно рассчитать энергию электрона для любой стационарной орбиты. Так, например, для ближайшей к ядру орбиты (п = 1) получим

Е = -13,55 эВ.

Полная энергия электрона, находящегося на стационарной орбите, называется уровнем энергии атома (или энергетическим уровнем).

Рис. 4

На рис. 4 схематически изображены уровни энергии водородного атома, рассчитанные по формуле (9); здесь же указаны соответствующие им значения энергии.

Согласно формуле (9), энергия атома возрастает с увеличением квантового числа п, или, что то же, с увеличением радиуса электронной орбиты. То есть, энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения п. Целое число п в выражении (9), определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с п = 1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с п > 1 являются возбужденными. Энергетический уровень, соответствующий основному состоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем; все остальные уровни являются возбужденными.

Здесь надо учитывать, что энергия Е отрицательна; поэтому уменьшение ее абсолютного значения соответствует возрастанию энергии. Минимумом энергии (Е = —13,55 эВ) атом обладает при движении электрона по ближайшей к ядру орбите (п = 1), а максимумом энергии (Е = 0) — при движении электрона по самой дальней орбите (п = ∞), что соответствует ионизированному атому.

Самопроизвольный переход электрона на более далекую орбиту т е. самопроизвольный переход атома на более высокий энергетический уровень невозможен. Для осуществления такого перехода необходимо сообщить атому определенное количество энергии извне, т.е. возбудить атом. Так, например, переход электрона с первой стационарной орбиты на вторую совершается при поглощении атомом кванта, равного 10,17 эВ, а переход электрона со второй орбиты на третью — поглощением кванта, равного 1,88 эВ.

Таким образом, атом может излучать и поглощать волны только вполне определенных частот (длин), чем и обусловлен линейчатый характер водородного спектра.

Как отмечалось выше, атомы могут находиться лишь в квантовых состояниях с дискретными значениями энергии Е₁, Е₂, Е₃,… Ради простоты рассмотрим только два из этих состояний (1 и 2) с энергиями Е₁ и Е₂.

Рис. 5

Если атом находится в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществиться вынужденный переход в возбужденное состояние 2 (рис. 5, а), приводящий к поглощению излучения. Вероятность подобных переходов пропорциональна плотности излучения, вызывающего эти переходы.

Атом, находясь в возбужденном состоянии 2, может через некоторый промежуток времени спонтанно, без каких-либо внешних воздействий, перейти в состояние с низшей энергией (в нашем случае в основное), отдавая избыточную энергию в виде электромагнитного излучения (испуская фотон с энергией hν = E₂ — E₁). Процесс испускания фотона возбужденным атомом (возбужденной микросистемой) без каких-либо внешних воздействий называется спонтанным (или самопроизвольным) излучением (рис. 5, б). Чем больше вероятность спонтанных переходов, тем меньше среднее время жизни атома в возбужденном состоянии. Так как спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.

В 1916 г. А. Эйнштейн для объяснения наблюдавшегося на опыте термодинамического равновесия между веществом и испускаемым и поглощаемым им излучением постулировал, что помимо поглощения и спонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной тип взаимодействия. Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии 2, действует внешнее излучение с частотой, удовлетворяющей условию hν = E₂ — E₁, то возникает вынужденный (индуцированный) переход в основное состояние 1 с излучением фотона той же энергии hv = E₂ — E₁ (рис. 5, в). При подобном переходе происходит излучение атомом фотона дополнительно к тому фотону, под действием которого произошел переход. Возникающее в результате таких переходов излучение называется вынужденным (индуцированным) излучением. Таким образом, в процесс вынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон, вызывающий испускание излучения возбужденным атомом, и вторичный фотон, испущенный атомом. Существенно, что вторичные фотоны неотличимы от первичных, являясь точной их копией.

Строение молекул и свойства их энергетических уровней проявляются в молекулярных спектрах — спектрах излучения (поглощения), возникающих при квантовых переходах между уровнями энергии молекул. Спектр излучения молекулы определяется структурой ее энергетических уровней и соответствующими правилами отбора (так, например, изменение квантовых чисел, соответствующих как колебательному, так и вращательному движению, должно быть равно ±1).

Итак, при разных типах переходов между уровнями возникают различные типы молекулярных спектров. Частоты спектральных линий, испускаемых молекулами, могут соответствовать переходам с одного электронного уровня на другой (электронные спектры) или с одного колебательного (вращательного) уровня на другой (колебательные (вращательные) спектры). Кроме того, возможны и переходы с одними значениями Е_кол и Е_вращ на уровни, имеющие другие значения всех трех компонентов, в результате чего возникают электронно-колебательные и колебательно-вращательные спектры. Поэтому спектр молекул довольно сложный.

Молекулярные спектры применяются для исследования строения и свойств молекул, используются в молекулярном спектральном анализе, лазерной спектроскопии, квантовой электронике и т. д.

3. Квантовая теория строения многоэлектронных атомов и образование оптических и рентгеновских спектров

Экспериментальные и теоретические исследования, в частности изучение спектров разреженных газов, показали, что, подобно атому водорода, многоэлектронным атомам (и молекулам) присущи дискретные состояния. Эти состояния характеризуются не одним квантовым числом п, принятым в теории Бора, а установленными квантовой механикой четырьмя квантовыми числами: главным, орбитальным, магнитным и спиновым.

Главное квантовое число п принимает только целочисленные значения от 1 до ∞.

Орбитальное (или побочное) квантовое число l принимает целочисленные значения от 0 до п—1 (всего п значений).

Магнитное квантовое число т_l принимает целочисленные значения от — l до + l (всего 2l + 1 значений).

Спиновое квантовое число m_s может иметь только два полуцелых значения: +1/2 и —1/2 (что соответствует противоположно направленным спинам электронов).

Строго говоря, эти квантовые числа связаны с волновыми свойствами атомных электронов и определяют волновую функцию. Однако в целях наглядности квантовым числам обычно приписывают следующий геометрический смысл. Полагают, что п определяет размер электронной орбиты (ее радиус в случае круговой или большую полуось в случае эллиптической формы орбиты), а l — ориентацию этой орбиты (направление орбитального момента импульса) или ее эксцентриситет (расстояние между фокусами эллиптической орбиты). Число т_l полагают определяющим проекцию орбитального магнитного момента на заданную ось, а число m_s — определяющим проекцию спина на эту ось.

Совокупность электронов, характеризующихся одним и тем же значением главного квантового числа п, образует электронный слой. Совокупность электронов с одним и тем же орбитальным квантовым числом l образует электронную оболочку. Энергия (энергетический уровень) электрона в атоме определяется главным образом значениями п и в меньшей мере значениями l; от значений т_l и m_s ее зависимость выражена очень слабо.

Распределение электронов в атоме по значениям квантовых чисел (т. е. энергетическим состояниям) осуществляется на основе следующих двух принципов.

1. В атоме не может быть нескольких электронов, характеризующихся одинаковой комбинацией значений квантовых чисел, или в атоме состояния всех электронов различны [принцип Паули (принцип исключения)].

2. Распределение электронов в атоме должно соответствовать минимуму энергии атома [принцип минимума энергии].

Учитывая принцип Паули, найдем общее выражение для максимального числа N_max электронов в любом электронном слое.

N_max = 2n².

Обозначения и расположение орбит, а также количество электронов на орбите вы изучали по химии, при рассмотрении вопроса о построении таблицы Менделеева.

4. Строение атомного ядра, нуклоны. Дефект масс.

В состав всех атомных ядер входит только два вида элементарных частиц — протоны и нейтроны, согласно гипотезе, высказанной в 1932 г. Д. Д. Иваненко и являющейся теперь общепризнанной.

Протон (р) имеет положительный заряд, равный заряду электрона (т. е. элементарному заряду е = 1,6022 · 10^-19 Кл), и массу покоя . Нейтрон (п) не имеет заряда; его масса немного больше массы протона: т_п = . Протон принято обозначать буквой р, нейтрон — буквой п; общее название этих частиц — нуклоны.

Массу ядер и элементарных частиц обычно выражают в атомных единицах массы (а. е. м.). За атомную единицу массы принята 1/12 массы изотопа углерода ¹²С; 1 а. е. м. = 1,66 · 10^{-27 кг. Таким образом,}

т_р ≈ т_п ≈ 1 а. е. м. = 1,66 · 10^{-27 кг.}

Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А.

Заряд атомного ядра любого химического элемента, выраженный в элементарных зарядах, равен атомному номеру Z этого элемента. Но заряд ядра слагается из зарядов протонов; следовательно, число протонов N_p в атомном ядре элемента равно атомному номеру Z элемента. Атомный номер совпадает с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов Менделеева.

Следовательно, число нейтронов в атомном ядре элемента равно разности между массовым числом и атомным номером элемента:

N_n = A — Z.

Таким образом, по массовому числу и атомному номеру химического элемента можно непосредственно определять число протонов и число нейтронов, содержащихся в атомном ядре этого элемента.

Атомные ядра химических элементов принято обозначать символом , где X — символ элемента, А — массовое число (число нуклонов в ядре), Z — атомный номер (число протонов в ядре). Например, означает атомное ядро гелия, — атомное ядро кислорода и т. п.

Так как атом нейтрален, то заряд ядра определяет и число электронов в атоме. От числа электронов зависит их распределение по состояниям в атоме, от которого, в свою очередь, зависят химические свойства атома. Следовательно, заряд ядра определяет специфику данного химического элемента, т.е. определяет число электронов в атоме, конфигурацию их электронных оболочек, величину и характер внутриатомного электрического поля.

На рис. 1 схематически изображены ядра атомов водорода Н, гелия Не, лития Li и бора В; черными шариками представлены протоны, белыми — нейтроны.

Рис.1

Атомы, ядра которых состоят из одинакового числа протонов, но из различного числа нейтронов, называются изотопами. Так, например, у водорода имеется четыре изотопа: протий (легкий водород) Н (состоит из одного протона А = 1), дейтерий (тяжелый водород) D (Н — из протона и нейтрона А = 2), тритий (сверхтяжелый водород) Т(Н — из протона и двух нейтронов А = 3) и четырехнуклонный водород (из протона и трех нейтронов А = 4), еще не получивший специального названия.

Все изотопы одного химического элемента имеют одинаковое строение электронных оболочек. Поэтому у изотопов данного элемента одинаковы как химические свойства, так и те физические свойства, которые обусловлены главным образом структурой электронной оболочки. Что касается физических свойств, обусловленных структурой ядра (массовое число, плотность, радиоактивность и т. д.), то они заметно различаются. Понятно, что это различие наиболее отчетливо выражено у самых легких химических элементов.

В настоящее время установлено, что большинство химических элементов, встречающихся в природе, представляет собой смесь изотопов. В частности, природный водород состоит на 99,985% из протия и на 0,015% из дейтерия.

В первом приближении ядро можно считать шаром, причем радиус ядра задается эмпирической формулой

(1)

где

Радиус ядра имеет условный смысл, поскольку границы ядра размыты. Из формулы (1) вытекает, что объем ядра пропорционален числу нуклонов в ядре. Следовательно, плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех ядер ().

Нуклоны, составляющие ядро, связаны между собой особыми силами притяжения — ядерными силами, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Ядерные силы относятся к классу так называемых сильных взаимодействий.

Из периодической системы Менделеева видно, что атомные массы некоторых элементов значительно отличаются от целых чисел. В 1919 г. английский физик Ф. Астон с помощью масс-спектрографа установил, что такие элементы представляют собой смесь нескольких изотопов. Это является главной причиной нецелочисленности атомных масс элементов; другая причина, связанная с дефектом массы.

Массу ядер очень точно можно определить с помощью масс-спектрометров – измерительных приборов, разделяющих с помощью электрических и магнитных полей пучки заряженных частиц (обычно ионов) с разными удельными зарядами Q/m. Масс-спектроскопические исследования показали, что масса ядра меньше, чем масса составляющих его нуклонов.

Как уже отмечалось, нуклоны прочно связаны в ядре атома ядерными силами. Для разрыва этой связи, т. е. для полного разобщения нуклонов, необходимо затратить некоторое количество энергии (совершить некоторую работу).

Энергия, которую нужно затратить, чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра.

Энергия связи нуклонов в ядре

Ее можно определить на основе закона сохранения энергии Согласно закону сохранения энергии, энергия нуклонов, связанных в ядре, должна быть меньше энергии разобщенных нуклонов на значение энергии связи ядра ε. С другой стороны, согласно закону пропорциональности массы и энергии, и закона пропорциональности массы и энергии, изменение энергии системы сопровождается пропорциональным изменением массы системы:

ΔЕ = Δmс², (1)

где с — скорость света в вакууме. Так как в рассматриваемом случае ΔЕ и есть энергия связи ε ядра, то масса атомного ядра должна быть меньше суммы масс нуклонов, составляющих ядро, на величину Δm, которая называется дефектом массы ядра.

Величина

называется дефектом массы ядра. На эту величину уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра.

По формуле (1) можно рассчитать энергию связи ε ядра, если известен дефект массы Δm этого ядра.

В качестве примера рассчитаем энергию связи ядра атома гелия. Оно состоит из двух протонов и двух нейтронов. Масса протона т_р = = 1,0073 а. е. м., масса нейтрона т_п = 1,0087 а. е. м. Следовательно, масса нуклонов, образующих ядро, равна 2т_р + 2т_п = 4,0320 а. е.м. Масса же ядра атома гелия т_я = 4,0016 а. е. м.

Таким образом, дефект массы атомного ядра гелия равен

Δm = 4,0320 — 4,0016 = 0,03 а. е. т., или

Δm = 0,03 · 1,66 · 10^{-27 кг ≈ 5 · 10-29 кг.}

Тогда энергия связи ядра гелия

ε = Δm с² = 28 МэВ.

Энергия связи ядра, приходящаяся на один нуклон, называется удельной энергией связи.

Радиоактивность. Элементарные частицы

Лекция 18

Цель: Рассмотреть радиоактивное излучение и его виды. Закон радиоактивного распада. Деление ядер. Ядерный реактор. Элементарные частицы. Классификация и взаимопревращаемость частиц. Переносчики фундаментальных взаимодействий. Кварки. Современная физическая картина мира.

План:

1. Радиоактивное излучение и его виды
2. Закон радиоактивного распада
3. Ядерные реакции и их основные типы
4. Элементарные частицы. Типы взаимодействий элементарных частиц

1. Радиоактивное излучение и его виды.

Наиболее устойчивыми являются ядра легких элементов, состоящие из приблизительно одинакового числа протонов и нейтронов. У самых тяжелых элементов (расположенных в периодической системе после свинца), ядра которых состоят из большого числа нуклонов (с преобладанием нейтронов), ядерные силы уже не обеспечивают устойчивости ядра. Такие ядра могут самопроизвольно распадаться, превращаясь в ядра более легких элементов. Это явление называется естественной радиоактивностью.

Естественная радиоактивность была открыта в 1896 г. французским физиком А. А. Беккерелем, обнаружившим, что соли урана испускают невидимые лучи, способные вызывать люминесценцию, проникать сквозь слои непрозрачных веществ, ионизировать газы, вызывать почернение фотографической пластинки. Дальнейшие исследования, проведенные П. Кюри и М. Кюри-Склодовской, Э. Резерфордом и другими учеными, показали, что естественная радиоактивность свойственна не только урану, но и многим тяжелым химическим элементам, в частности актинию, торию, полонию и радию (два последних элемента были открыты в 1898 г. Пьером и Марией Кюри). Все эти элементы были названы радиоактивными элементами, а испускаемые ими лучи — радиоактивными лучами (радиоактивным излучением).

В настоящее время под радиоактивностью понимают способность некоторых атомных ядер самопроизвольно (спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием различных видов радиоактивных излучений и элементарных частиц. Радиоактивность подразделяют на естественную (наблюдается у неустойчивых изотопов, существующих в природе) и искусственную (наблюдается у изотопов, полученных посредством ядерных реакций). Принципиального различия между этими двумя типами радиоактивности нет, так как законы радиоактивного превращения в обоих случаях одинаковы.

Радиоактивное излучение бывает трех типов: α-, β- и γ-излучение.

α-Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает высокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью (например, поглощаются слоем алюминия толщиной примерно 0,05 мм). α-Излучение представляет собой поток ядер гелия; заряд α -частицы равен +2е, а масса совпадает с массой ядра изотопа гелия

Пролетая сквозь вещество, α -частица ионизирует его атомы, действуя на них своим электрическим полем («выбивает» электроны из атомов вещества). Израсходовав энергию на ионизацию атомов, α-частица останавливается; при этом она захватывает два электрона (из имеющихся в веществе свободных электронов) и превращается в атом гелия.

Путь, проходимый α-частицей в веществе (до остановки), называется ее пробегом или проникающей способностью, а число пар ионов, создаваемых α-частицей на пробеге, называется ее ионизирующей способностью. Очевидно, что чем больше ионизирующая способность частицы, тем меньше ее пробег.

Пробег α-частиц в воздухе (при нормальном давлении) составляет 3—9 см, а их ионизирующая способность равна 100 000—250 000 пар ионов (в среднем 30 000 пар ионов на 1 см пробега). Таким образом, α-частицы обладают высокой ионизирующей способностью, но небольшой проникающей способностью.

β-Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями; его ионизирующая способность значительно меньше (примерно на два порядка), а проникающая способность гораздо больше (поглощается слоем алюминия толщиной примерно 2 мм), чем у α -частиц. β-Излучение представляет собой поток быстрых электронов (это вытекает из определения их удельного заряда).

Поглощение потока электронов с одинаковыми скоростями в однородном веществе подчиняется экспоненциальному закону где N_o и N — число электронов на входе и выходе слоя вещества толщиной х, μ — коэффициент поглощения. β-Излучение сильно рассеивается в веществе, поэтому μ зависит не только от вещества, но и от размеров и формы тел, на которые β-излучение падает.

γ-Излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью (например, проходит через слой свинца толщиной 5 см), при прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию. γ-Излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с чрезвычайно малой длиной волны и вследствие этого — ярко выраженными корпускулярными свойствами, т. е. является потоком частиц — γ-квантов (фотонов).

2. Закон радиоактивного распада

Под радиоактивным распадом, или просто распадом, понимают естественное радиоактивное превращение ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским, возникающее ядро — дочерним. Теория радиоактивного распада строится на предположении о том, что радиоактивный распад является спонтанным процессом, подчиняющимся статистическим законам. Так как отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, то можно считать, что число ядер dN, распавшихся в среднем за интервал времени от t до t + dt, пропорционально промежутку времени dt и числу N нераспавшихся ядер к моменту времени t:

(1)

где λ — постоянная для данного радиоактивного вещества величина, называемая постоянной радиоактивного распада; знак «—» указывает, что общее число радиоактивных ядер в процессе распада уменьшается. Разделив переменные и интегрируя:

получим

(2)

где N_o — начальное число нераспавшихся ядер (в момент времена t = 0); N — число нераспавшихся ядер в момент времени t.

Формула (2) выражает закон радиоактивного распада, согласно которому число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальному закону.

Графически этот закон представлен на рис. 3.

Рис. 3

Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две величины: период полураспада в среднее время жизни τ радиоактивного ядра. Период полураспада T_1/2 - время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшается вдвое. Тогда, согласно (2),

откуда

Периоды полураспада для естественно-радиоактивных элементов колеблются от десятимиллионных долей секунды до многих миллиардов лет.

Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна Проинтегрировав это выражение по всем возможным t (т. е. от 0 до ∞) и разделив на начальное число ядер N_o, получим среднее время жизни τ радиоактивного ядра:

[учтено (2)]. Таким образом, среднее время жизни τ радиоактивного ядра есть величина, обратная постоянной радиоактивного распада λ.

Активностью А нуклида (общее название атомных ядер, отличающихся числом протонов Z и нейтронов N) в радиоактивном источнике называется число распадов, происходящих с ядрами образца в 1 с:

(3)

Единица активности в СИ — беккерель (Бк): 1 Бк — активность нуклида, при которой за 1 с происходит один акт распада. До сих пор в ядерной физике применяется и внесистемная единица активности нуклида в радиоактивном источнике — кюри (Ки):

Практически все методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений (α, β, γ) и частиц основаны на их способности производить ионизацию и возбуждение атомов среды. Заряженные частицы вызывают эти процессы непосредственно, а γ-кванты и нейтроны обнаруживаются по ионизации, вызываемой возникающими в результате их взаимодействия с электронами и ядрами атомов среды быстрыми заряженными частицами. Вторичные эффекты, сопровождающие рассмотренные процессы, такие, как вспышка света, электрический ток, потемнение фотопластинки, позволяют регистрировать пролетающие частицы, считать их, отличать друг от друга и измерять их энергию. Приборы, применяемые для регистрации радиоактивных излучений и частиц, делятся на две группы:

1) приборы, позволяющие регистрировать прохождение частицы через определенный участок пространства и в некоторых случаях определять ее характеристики, например энергию (сцинтилляционный счетчик, черенковский счетчик, импульсная ионизационная камера, газоразрядный счетчик, полупроводниковый счетчик);

2) приборы, позволяющие наблюдать, например фотографировать, следы (треки) частиц в веществе (камера Вильсона, диффузионная камера, пузырьковая камера, ядерные фотоэмульсии).

3. Ядерные реакции и их основные типы

Ядерные реакции — это превращения атомных ядер при взаимодействии с элементарными частицами (в том числе и с γ-квантами) или друг с другом.

Наиболее распространенным видом ядерной реакции является реакция, записываемая символически следующим образом:

где X и Y — исходное и конечное ядра; а и b — бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.

В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения зарядовых и массовых чисел: сумма зарядовых чисел (и сумма массовых чисел) ядер и частиц, вступающих в ядерную реакцию, равна сумме зарядовых чисел (и сумме массовых чисел) конечных продуктов (ядер и частиц) реакции. Выполняются также законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В отличие от радиоактивного распада, который протекает всегда с выделением энергии, ядерные реакции могут быть как экзотермическими (с выделением энергии), так и эндотермическими (с поглощением энергии).

Ядерные реакции классифицируются по следующим признакам:

1) по роду участвующих в них частиц — реакции под действием нейтронов; реакции под действием заряженных частиц (например, протонов, дейтронов, α-частиц); реакции под действием γ-квантов;

2) по энергии вызывающих их частиц — реакции при малых энергиях (порядка электрон-вольт), происходящие в основном с участием нейтронов; реакции при средних энергиях (до нескольких мегаэлектрон-вольт), происходящие с участием γ-квантов и заряженных частиц (протоны, α-частицы); реакции при высоких энергиях (сотни и тысячи мегаэлектрон-вольт), приводящие к рождению отсутствующих в свободном состоянии элементарных частиц и имеющее большое значение для их изучения;

3) по роду участвующих в них ядер — реакции на легких ядрах (А < 50); реакции на средних ядрах (50 < А < 100); реакции на тяжелых ядрах (А > 100);

4) по характеру происходящих ядерных превращений — реакции с испусканием нейтронов; реакции с испусканием заряженных частиц; реакции захвата (в этих реакциях составное ядро не испускает никаких частиц, а переходит в основное состояние, излучая один или несколько γ-квантов).

_{Рассмотрим некоторые виды ядерных превращений.}

для α-распада, (1)

для β ^--распада, (2)

для β ⁺-распада, (3)

где — материнское ядро; Y — символ дочернего ядра;— ядро гелия (α-частица); — символическое обозначение электрона (заряд его равен — 1, а массовое число — нулю), — обозначение позитрона, являющегося античастицей электрона.

При β ⁺-распаде вместе с электроном испускается еще одна нейтральная частица — нейтрино. Нейтрино имеет нулевой заряд, спин 1/2 (в единицах ) и нулевую (а скорее < 10^-4m_e) массу; обозначается . При β ^--распаде испускается антинейтрино (античастица по отношению к нейтрино; обозначается).

β ^–распад сопровождается превращением одного из нейтронов β ^--активного ядра в протон с одновременным образованием электрона и вылетом антинейтрино:

Процесс β⁺-распада протекает так, как если бы один из протонов ядра превратился в нейтрон, испустив при этом позитрон и нейтрино:

Позитроны могут рождаться при взаимодействии γ-квантов большой энергии (Е₁ > 1,02 МэВ = 2т_ес²) с веществом. Этот процесс идет по схеме

(4)

При столкновении позитрона с электроном происходит их аннигиляция:

(5)

в ее процессе электронно-позитронная пара превращается в два γ-кванта, причем энергия пары переходит в энергию фотонов.

Для многих ядер превращение протона в нейтрон, помимо описанного процесса, происходит посредством электронного захвата, или е-захвата, при котором ядро спонтанно захватывает электрон с одной из внутренних оболочек атома (К, L и т. д.), испуская нейтрино:

Ядерная реакция под действием нейтронов приводит к образованию нового изотопа исходного вещества:

Реакции деления ядра, заключаются в том, что тяжелое ядро под действием нейтронов (или других частиц) делится на несколько более легких ядер (осколков), чаще всего на два ядра, близких по массе. Реакция сопровождается испусканием двух-трех вторичных нейтронов, называемых нейтронами деления.

Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деления — ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции деления является требование k ≥ 1.

Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно осуществление цепной реакции, называются критическими размерами. Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в системе критических размеров, необходимая для осуществления цепной реакции, называется критической массой.

Цепные реакции делятся на управляемые и неуправляемые. Взрыв атомной бомбы, например, является неуправляемой реакцией. Чтобы атомная бомба при хранении не взорвалась, в нейделится на две удаленные друг от друга части с массами, ниже критических. Затем с помощью обычного взрыва эти массы сближаются, общая масса делящегося вещества становится больше критической и возникает взрывная цепная реакция, сопровождающаяся мгновенным выделением огромного количества энергии и большими разрушениями. Взрывная реакция начинается за счет имеющихся нейтронов спонтанного деления или нейтронов космического излучения.

Управляемые цепные реакции осуществляются в ядерных реакторах, устройствах, в которых осуществляется и поддерживается управляемая цепная реакция деления

Ядерные реакторы различаются:

1) по характеру основных материалов, находящихся в активной зоне (ядерное топливо, замедлитель, теплоноситель); в качестве делящихся и сырьевых веществ используются, в качестве замедлителей - вода (обычная и тяжелая), графит, бериллий, органические жидкости и т.д., в качестве теплоносителей — воздух, вода, водяной пар, Не, СО₂ и т.д.;

2) по характеру размещения ядерного топлива и замедлителя в активной зоне: гомогенные (оба вещества равномерно смешаны друг с другом) и гетерогенные (оба вещества располагаются порознь в виде блоков);

3) по энергии нейтронов (реакторы на тепловых и быстрых нейтронах; в последних используются нейтроны деления и замедлитель вообще отсутствует);

4) по типу режима (непрерывные и импульсные);

5) по назначению (энергетические, исследовательские, реакторы по производству новых делящихся материалов, радиоактивных изотопов и т.д.).

В соответствии с рассмотренными признаками и образовались такие названия, как уран-графитовые, водо-водяные, графито-газовые реакторы и др.

Источником огромной энергии может служить реакция синтеза атомных ядер — образование из легких ядер более тяжелых, которые происходят при сверхвысоких температурах (примерно 10⁷ К и выше) и называются термоядерными реакциями.

Термоядерные реакции являются, по-видимому, одним из источников энергии Солнца и звезд. В принципе высказаны два предположения о возможных способах протекания термоядерных реакций на Солнце:

1) протонно-протонный, или водородный, цикл, характерный для температур примерно:

2) углеродно-азотный, или углеродный, цикл, характерный для более высоких температур (примерно 2 ∙ 10⁷ К):

В результате этого цикла четыре протона превращаются в ядро гелия и выделяется энергия, равная 26,7 МэВ. Ядра же углерода, число которых остается неизменным, участвуют в реакции в роли катализатора.

Термоядерные реакции дают наибольший выход энергии на единицу массы «горючего», чем любые другие превращения, в том числе и деление тяжелых ядер. Например, количество дейтерия в стакане простой воды энергетически эквивалентно примерно 60 л бензина. Поэтому заманчива перспектива осуществления термоядерных реакций искусственным путем.

4. Элементарные частицы.

Типы взаимодействий элементарных частиц

Согласно современным представлениям, в природе осуществляется четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.

Сильное, или ядерное, взаимодействие обусловливает связь протонов и нейтронов в ядрах атомов и обеспечивает исключительную прочность этих образований, лежащую в основе стабильности вещества в земных условиях.

Электромагнитное взаимодействие характеризуется как взаимодействие, в основе которого лежит связь с электромагнитным полем. Оно характерно для всех элементарных частиц, за исключением нейтрино, антинейтрино и фотона. Электромагнитное взаимодействие, в частности, ответственно за существование атомов и молекул, обусловливая взаимодействие в них положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов.

Слабое взаимодействие — наиболее медленное из всех, взаимодействий, протекающих в микромире. Оно ответственно за взаимодействие частиц, происходящих с участием нейтрино или антинейтрино (например, β-распад, μ-распад), а также за безнейтринные процессы распада, характеризующиеся довольно большим временем жизни распадающейся частицы ().

Гравитационное взаимодействие присуще всем без исключения частицам, однако из-за малости масс элементарных частиц оно пренебрежимо мало и, по-видимому, в процессах микромира несущественно.

Сильное взаимодействие примерно в 100 раз превышает электромагнитное и в раз — слабое. Чем сильнее взаимодействие, тем с большей интенсивностью протекают процессы.

Как сильное, так и слабое взаимодействия — короткодействующие. Радиус действия сильного взаимодействия составляет примерно 10^-15 м, слабого — не превышает 10^-19 м. Радиус действия электромагнитного взаимодействия практически не ограничен.

Элементарные частицы принято делить на три группы:

1) фотоны, состоящие всего лишь из одной частицы — фотона — кванта электромагнитного излучения;

2) лептоны (от греч. «лептос» — легкий), участвующие только в электромагнитном и слабом взаимодействиях. К лептонам относятся электронное и мюонное нейтрино, электрон, мюон и открытый в 1975 г. тяжелый лептон — τ-лептон, или таон, с массой примерно 3487m_е, а также соответствующие им античастицы. Название лептонов связано с тем, что массы первых известных лептонов были меньше масс всех других частиц. К лептонам относится также таонное нейтрино, существование которого также установлено;

3) адроны (от греч. «адрос» — крупный, сильный), обладающие сильным взаимодействием наряду с электромагнитным и слабым. Из рассмотренных выше частиц к ним относятся протон, нейтрон, пионы и каоны.

Для всех типов взаимодействия элементарных частиц выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и зарядовых чисел.

Электрон и позитрон не являются единственной парой частица — античастица. На основе релятивистской квантовой теории пришли к заключению, что для каждой элементарной частицы должна существовать античастица (принцип зарядового сопряжения). Эксперименты показывают, что за немногим исключением (например, фотона и π⁰-мезона), действительно, каждой частице соответствует античастица.

Из общих положений квантовой теории следует, что частицы и античастицы должны иметь одинаковые массы, одинаковые времена жизни в вакууме, одинаковые по модулю, но противоположные по знаку электрические заряды (и магнитные моменты), одинаковые спины и изотопические спины, а также одинаковые остальные квантовые числа, приписываемые элементарным частицам для описания закономерностей их взаимодействия (лептонное число, барионное число, странность, очарование и т.д.).

В последние годы увеличение числа элементарных частиц происходит в основном вследствие расширения группы адронов. Поэтому развитие работ по их классификации все время сопровождалось поисками новых более фундаментальных частиц, которые могли бы служить базисом для построения всех адронов. Гипотеза о существовании таких частиц, названных кварками, базируется на том, что между лептонами и кварками существует симметрия: число лептонов должно быть равно числу типов кварков.

Каждый кварк (антикварк) обладает специфической квантовой характеристикой — цветом: «желтым», «синим» и «красным».

В физике элементарных частиц введен «аромат» — характеристика типа кварка (и, d, с, s, t, b?), объединяющая совокупность квантовых чисел (странность, очарование, прелесть и др.), отличающих один тип кварка от другого, кроме цвета. Аромат сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях. Является ли схема из шести лептонов и шести кварков окончательной или же число лептонов (кварков) будет расти, покажут дальнейшие исследования.